Users' Mathboxes Mathbox for Chen-Pang He < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  onint1 Unicode version

Theorem onint1 24960
Description: The ordinal T1 spaces are 
1o and  2o, proven without the Axiom of Regularity. (Contributed by Chen-Pang He, 9-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
onint1  |-  ( On 
i^i  Fre )  =  { 1o ,  2o }

Proof of Theorem onint1
Dummy variables  j 
a are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3371 . . . . 5  |-  ( j  e.  ( On  i^i  Fre )  <->  ( j  e.  On  /\  j  e. 
Fre ) )
2 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  U. j  =  U. j
32ist1 17065 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  Fre  <->  ( j  e.  Top  /\  A. a  e.  U. j { a }  e.  ( Clsd `  j ) ) )
43simprbi 450 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  Fre  ->  A. a  e.  U. j { a }  e.  ( Clsd `  j ) )
5 onelon 4433 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( j  e.  On  /\  ( U. j  \  { (/)
} )  e.  j )  ->  ( U. j  \  { (/) } )  e.  On )
65ex 423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  On  ->  (
( U. j  \  { (/) } )  e.  j  ->  ( U. j  \  { (/) } )  e.  On ) )
7 0ex 4166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  (/)  e.  _V
87snid 3680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  (/)  e.  { (/)
}
9 eldifn 3312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (/)  e.  ( U. j  \  { (/) } )  ->  -.  (/)  e.  { (/) } )
108, 9mt2 170 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -.  (/)  e.  ( U. j  \  { (/)
} )
1110a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2o  e.  j  ->  -.  (/) 
e.  ( U. j  \  { (/) } ) )
12 p0ex 4213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  { (/) }  e.  _V
1312prid2 3748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  { (/) }  e.  { (/) ,  { (/)
} }
14 df2o2 6509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  2o  =  { (/) ,  { (/) } }
1513, 14eleqtrri 2369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  { (/) }  e.  2o
16 elunii 3848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( { (/) }  e.  2o  /\  2o  e.  j )  ->  { (/) }  e.  U. j )
1715, 16mpan 651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2o  e.  j  ->  { (/) }  e.  U. j )
18 df1o2 6507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1o  =  { (/) }
19 1on 6502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1o  e.  On
2018, 19eqeltrri 2367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  { (/) }  e.  On
2120onirri 4515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  -.  { (/)
}  e.  { (/) }
2221a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2o  e.  j  ->  -.  {
(/) }  e.  { (/) } )
23 eldif 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( {
(/) }  e.  ( U. j  \  { (/) } )  <->  ( { (/) }  e.  U. j  /\  -.  { (/) }  e.  { (/)
} ) )
2417, 22, 23sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2o  e.  j  ->  { (/) }  e.  ( U. j  \  { (/) } ) )
25 ne0i 3474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( {
(/) }  e.  ( U. j  \  { (/) } )  ->  ( U. j  \  { (/) } )  =/=  (/) )
2624, 25syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2o  e.  j  ->  ( U. j  \  { (/) } )  =/=  (/) )
2711, 262thd 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2o  e.  j  ->  ( -.  (/)  e.  ( U. j  \  { (/) } )  <-> 
( U. j  \  { (/) } )  =/=  (/) ) )
28 nbbn 347 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( -.  (/)  e.  ( U. j  \  { (/) } )  <-> 
( U. j  \  { (/) } )  =/=  (/) )  <->  -.  ( (/)  e.  ( U. j  \  { (/)
} )  <->  ( U. j  \  { (/) } )  =/=  (/) ) )
2927, 28sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2o  e.  j  ->  -.  ( (/)  e.  ( U. j  \  { (/) } )  <-> 
( U. j  \  { (/) } )  =/=  (/) ) )
30 on0eln0 4463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U. j  \  { (/)
} )  e.  On  ->  ( (/)  e.  ( U. j  \  { (/) } )  <->  ( U. j  \  { (/) } )  =/=  (/) ) )
3129, 30nsyl 113 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2o  e.  j  ->  -.  ( U. j  \  { (/)
} )  e.  On )
326, 31nsyli 133 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  On  ->  ( 2o  e.  j  ->  -.  ( U. j  \  { (/)
} )  e.  j ) )
3332imp 418 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  e.  On  /\  2o  e.  j )  ->  -.  ( U. j  \  { (/) } )  e.  j )
347prid1 3747 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (/)  e.  { (/)
,  { (/) } }
3534, 14eleqtrri 2369 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (/)  e.  2o
36 elunii 3848 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
(/)  e.  2o  /\  2o  e.  j )  ->  (/)  e.  U. j )
3735, 36mpan 651 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2o  e.  j  ->  (/)  e.  U. j )
3837adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j  e.  On  /\  2o  e.  j )  ->  (/) 
e.  U. j )
39 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( j  e.  On  /\  2o  e.  j )  /\  a  =  (/) )  ->  a  =  (/) )
4039sneqd 3666 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( j  e.  On  /\  2o  e.  j )  /\  a  =  (/) )  ->  { a }  =  { (/) } )
4140eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( j  e.  On  /\  2o  e.  j )  /\  a  =  (/) )  ->  ( { a }  e.  ( Clsd `  j )  <->  { (/) }  e.  ( Clsd `  j )
) )
4238, 41rspcdv 2900 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  e.  On  /\  2o  e.  j )  -> 
( A. a  e. 
U. j { a }  e.  ( Clsd `  j )  ->  { (/) }  e.  ( Clsd `  j
) ) )
432cldopn 16784 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( {
(/) }  e.  ( Clsd `  j )  -> 
( U. j  \  { (/) } )  e.  j )
4442, 43syl6 29 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  e.  On  /\  2o  e.  j )  -> 
( A. a  e. 
U. j { a }  e.  ( Clsd `  j )  ->  ( U. j  \  { (/) } )  e.  j ) )
4533, 44mtod 168 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  On  /\  2o  e.  j )  ->  -.  A. a  e.  U. j { a }  e.  ( Clsd `  j )
)
4645ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  On  ->  ( 2o  e.  j  ->  -.  A. a  e.  U. j { a }  e.  ( Clsd `  j )
) )
4746con2d 107 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  On  ->  ( A. a  e.  U. j { a }  e.  ( Clsd `  j )  ->  -.  2o  e.  j ) )
484, 47syl5 28 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  On  ->  (
j  e.  Fre  ->  -.  2o  e.  j ) )
49 2on 6503 . . . . . . . . 9  |-  2o  e.  On
50 ontri1 4442 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  On  /\  2o  e.  On )  -> 
( j  C_  2o  <->  -.  2o  e.  j ) )
51 onsssuc 4496 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  On  /\  2o  e.  On )  -> 
( j  C_  2o  <->  j  e.  suc  2o ) )
5250, 51bitr3d 246 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  On  /\  2o  e.  On )  -> 
( -.  2o  e.  j 
<->  j  e.  suc  2o ) )
5349, 52mpan2 652 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  On  ->  ( -.  2o  e.  j  <->  j  e.  suc  2o ) )
5448, 53sylibd 205 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  On  ->  (
j  e.  Fre  ->  j  e.  suc  2o ) )
5554imp 418 . . . . . 6  |-  ( ( j  e.  On  /\  j  e.  Fre )  ->  j  e.  suc  2o )
56 0ntop 16667 . . . . . . . . . 10  |-  -.  (/)  e.  Top
57 t1top 17074 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  e.  Fre  ->  (/)  e.  Top )
5856, 57mto 167 . . . . . . . . 9  |-  -.  (/)  e.  Fre
59 nelneq 2394 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  Fre  /\  -.  (/)  e.  Fre )  ->  -.  j  =  (/) )
6058, 59mpan2 652 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  Fre  ->  -.  j  =  (/) )
61 elsni 3677 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  { (/) }  ->  j  =  (/) )
6260, 61nsyl 113 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  Fre  ->  -.  j  e.  { (/) } )
6362adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( j  e.  On  /\  j  e.  Fre )  ->  -.  j  e.  { (/)
} )
64 eldif 3175 . . . . . 6  |-  ( j  e.  ( suc  2o  \  { (/) } )  <->  ( j  e.  suc  2o  /\  -.  j  e.  { (/) } ) )
6555, 63, 64sylanbrc 645 . . . . 5  |-  ( ( j  e.  On  /\  j  e.  Fre )  ->  j  e.  ( suc 
2o  \  { (/) } ) )
661, 65sylbi 187 . . . 4  |-  ( j  e.  ( On  i^i  Fre )  ->  j  e.  ( suc  2o  \  { (/)
} ) )
6766ssriv 3197 . . 3  |-  ( On 
i^i  Fre )  C_  ( suc  2o  \  { (/) } )
68 df-suc 4414 . . . . . 6  |-  suc  2o  =  ( 2o  u.  { 2o } )
6968difeq1i 3303 . . . . 5  |-  ( suc 
2o  \  { (/) } )  =  ( ( 2o  u.  { 2o }
)  \  { (/) } )
70 difundir 3435 . . . . 5  |-  ( ( 2o  u.  { 2o } )  \  { (/)
} )  =  ( ( 2o  \  { (/)
} )  u.  ( { 2o }  \  { (/)
} ) )
7169, 70eqtri 2316 . . . 4  |-  ( suc 
2o  \  { (/) } )  =  ( ( 2o 
\  { (/) } )  u.  ( { 2o }  \  { (/) } ) )
72 df-pr 3660 . . . . 5  |-  { 1o ,  2o }  =  ( { 1o }  u.  { 2o } )
73 df2o3 6508 . . . . . . . . 9  |-  2o  =  { (/) ,  1o }
74 df-pr 3660 . . . . . . . . 9  |-  { (/) ,  1o }  =  ( { (/) }  u.  { 1o } )
7573, 74eqtri 2316 . . . . . . . 8  |-  2o  =  ( { (/) }  u.  { 1o } )
7675difeq1i 3303 . . . . . . 7  |-  ( 2o 
\  { (/) } )  =  ( ( {
(/) }  u.  { 1o } )  \  { (/)
} )
77 difundir 3435 . . . . . . 7  |-  ( ( { (/) }  u.  { 1o } )  \  { (/)
} )  =  ( ( { (/) }  \  { (/) } )  u.  ( { 1o }  \  { (/) } ) )
78 difid 3535 . . . . . . . . 9  |-  ( {
(/) }  \  { (/) } )  =  (/)
79 1n0 6510 . . . . . . . . . . . 12  |-  1o  =/=  (/)
80 disjsn2 3707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1o  =/=  (/)  ->  ( { 1o }  i^i  { (/) } )  =  (/) )
8179, 80ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { 1o }  i^i  { (/)
} )  =  (/)
8281difeq2i 3304 . . . . . . . . . 10  |-  ( { 1o }  \  ( { 1o }  i^i  { (/)
} ) )  =  ( { 1o }  \  (/) )
83 difin 3419 . . . . . . . . . 10  |-  ( { 1o }  \  ( { 1o }  i^i  { (/)
} ) )  =  ( { 1o }  \  { (/) } )
84 dif0 3537 . . . . . . . . . 10  |-  ( { 1o }  \  (/) )  =  { 1o }
8582, 83, 843eqtr3i 2324 . . . . . . . . 9  |-  ( { 1o }  \  { (/)
} )  =  { 1o }
8678, 85uneq12i 3340 . . . . . . . 8  |-  ( ( { (/) }  \  { (/)
} )  u.  ( { 1o }  \  { (/)
} ) )  =  ( (/)  u.  { 1o } )
87 uncom 3332 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  u. 
{ 1o } )  =  ( { 1o }  u.  (/) )
88 un0 3492 . . . . . . . 8  |-  ( { 1o }  u.  (/) )  =  { 1o }
8986, 87, 883eqtri 2320 . . . . . . 7  |-  ( ( { (/) }  \  { (/)
} )  u.  ( { 1o }  \  { (/)
} ) )  =  { 1o }
9076, 77, 893eqtri 2320 . . . . . 6  |-  ( 2o 
\  { (/) } )  =  { 1o }
91 2on0 6504 . . . . . . . . 9  |-  2o  =/=  (/)
92 disjsn2 3707 . . . . . . . . 9  |-  ( 2o  =/=  (/)  ->  ( { 2o }  i^i  { (/) } )  =  (/) )
9391, 92ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( { 2o }  i^i  { (/)
} )  =  (/)
9493difeq2i 3304 . . . . . . 7  |-  ( { 2o }  \  ( { 2o }  i^i  { (/)
} ) )  =  ( { 2o }  \  (/) )
95 difin 3419 . . . . . . 7  |-  ( { 2o }  \  ( { 2o }  i^i  { (/)
} ) )  =  ( { 2o }  \  { (/) } )
96 dif0 3537 . . . . . . 7  |-  ( { 2o }  \  (/) )  =  { 2o }
9794, 95, 963eqtr3i 2324 . . . . . 6  |-  ( { 2o }  \  { (/)
} )  =  { 2o }
9890, 97uneq12i 3340 . . . . 5  |-  ( ( 2o  \  { (/) } )  u.  ( { 2o }  \  { (/)
} ) )  =  ( { 1o }  u.  { 2o } )
9972, 98eqtr4i 2319 . . . 4  |-  { 1o ,  2o }  =  ( ( 2o  \  { (/)
} )  u.  ( { 2o }  \  { (/)
} ) )
10071, 99eqtr4i 2319 . . 3  |-  ( suc 
2o  \  { (/) } )  =  { 1o ,  2o }
10167, 100sseqtri 3223 . 2  |-  ( On 
i^i  Fre )  C_  { 1o ,  2o }
102 ssoninhaus 24959 . . 3  |-  { 1o ,  2o }  C_  ( On  i^i  Haus )
103 haust1 17096 . . . . 5  |-  ( j  e.  Haus  ->  j  e. 
Fre )
104103ssriv 3197 . . . 4  |-  Haus  C_  Fre
105 sslin 3408 . . . 4  |-  ( Haus  C_  Fre  ->  ( On  i^i  Haus )  C_  ( On  i^i  Fre ) )
106104, 105ax-mp 8 . . 3  |-  ( On 
i^i  Haus )  C_  ( On  i^i  Fre )
107102, 106sstri 3201 . 2  |-  { 1o ,  2o }  C_  ( On  i^i  Fre )
108101, 107eqssi 3208 1  |-  ( On 
i^i  Fre )  =  { 1o ,  2o }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556    \ cdif 3162    u. cun 3163    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   {csn 3653   {cpr 3654   U.cuni 3843   Oncon0 4408   suc csuc 4410   ` cfv 5271   1oc1o 6488   2oc2o 6489   Topctop 16647   Clsdccld 16769   Frect1 17051   Hauscha 17052
This theorem is referenced by:  oninhaus  24961
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-suc 4414  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-fv 5279  df-1o 6495  df-2o 6496  df-topgen 13360  df-top 16652  df-topon 16655  df-cld 16772  df-t1 17058  df-haus 17059
  Copyright terms: Public domain W3C validator