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Theorem onint1 24888
Description: The ordinal T1 spaces are 
1o and  2o, proven without the Axiom of Regularity. (Contributed by Chen-Pang He, 9-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
onint1  |-  ( On 
i^i  Fre )  =  { 1o ,  2o }

Proof of Theorem onint1
Dummy variables  j 
a are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3358 . . . . 5  |-  ( j  e.  ( On  i^i  Fre )  <->  ( j  e.  On  /\  j  e. 
Fre ) )
2 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  U. j  =  U. j
32ist1 17049 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  Fre  <->  ( j  e.  Top  /\  A. a  e.  U. j { a }  e.  ( Clsd `  j ) ) )
43simprbi 450 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  Fre  ->  A. a  e.  U. j { a }  e.  ( Clsd `  j ) )
5 onelon 4417 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( j  e.  On  /\  ( U. j  \  { (/)
} )  e.  j )  ->  ( U. j  \  { (/) } )  e.  On )
65ex 423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  On  ->  (
( U. j  \  { (/) } )  e.  j  ->  ( U. j  \  { (/) } )  e.  On ) )
7 0ex 4150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  (/)  e.  _V
87snid 3667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  (/)  e.  { (/)
}
9 eldifn 3299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (/)  e.  ( U. j  \  { (/) } )  ->  -.  (/)  e.  { (/) } )
108, 9mt2 170 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -.  (/)  e.  ( U. j  \  { (/)
} )
1110a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2o  e.  j  ->  -.  (/) 
e.  ( U. j  \  { (/) } ) )
12 p0ex 4197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  { (/) }  e.  _V
1312prid2 3735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  { (/) }  e.  { (/) ,  { (/)
} }
14 df2o2 6493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  2o  =  { (/) ,  { (/) } }
1513, 14eleqtrri 2356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  { (/) }  e.  2o
16 elunii 3832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( { (/) }  e.  2o  /\  2o  e.  j )  ->  { (/) }  e.  U. j )
1715, 16mpan 651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2o  e.  j  ->  { (/) }  e.  U. j )
18 df1o2 6491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1o  =  { (/) }
19 1on 6486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1o  e.  On
2018, 19eqeltrri 2354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  { (/) }  e.  On
2120onirri 4499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  -.  { (/)
}  e.  { (/) }
2221a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2o  e.  j  ->  -.  {
(/) }  e.  { (/) } )
23 eldif 3162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( {
(/) }  e.  ( U. j  \  { (/) } )  <->  ( { (/) }  e.  U. j  /\  -.  { (/) }  e.  { (/)
} ) )
2417, 22, 23sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2o  e.  j  ->  { (/) }  e.  ( U. j  \  { (/) } ) )
25 ne0i 3461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( {
(/) }  e.  ( U. j  \  { (/) } )  ->  ( U. j  \  { (/) } )  =/=  (/) )
2624, 25syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2o  e.  j  ->  ( U. j  \  { (/) } )  =/=  (/) )
2711, 262thd 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2o  e.  j  ->  ( -.  (/)  e.  ( U. j  \  { (/) } )  <-> 
( U. j  \  { (/) } )  =/=  (/) ) )
28 nbbn 347 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( -.  (/)  e.  ( U. j  \  { (/) } )  <-> 
( U. j  \  { (/) } )  =/=  (/) )  <->  -.  ( (/)  e.  ( U. j  \  { (/)
} )  <->  ( U. j  \  { (/) } )  =/=  (/) ) )
2927, 28sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2o  e.  j  ->  -.  ( (/)  e.  ( U. j  \  { (/) } )  <-> 
( U. j  \  { (/) } )  =/=  (/) ) )
30 on0eln0 4447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U. j  \  { (/)
} )  e.  On  ->  ( (/)  e.  ( U. j  \  { (/) } )  <->  ( U. j  \  { (/) } )  =/=  (/) ) )
3129, 30nsyl 113 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2o  e.  j  ->  -.  ( U. j  \  { (/)
} )  e.  On )
326, 31nsyli 133 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  On  ->  ( 2o  e.  j  ->  -.  ( U. j  \  { (/)
} )  e.  j ) )
3332imp 418 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  e.  On  /\  2o  e.  j )  ->  -.  ( U. j  \  { (/) } )  e.  j )
347prid1 3734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (/)  e.  { (/)
,  { (/) } }
3534, 14eleqtrri 2356 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (/)  e.  2o
36 elunii 3832 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
(/)  e.  2o  /\  2o  e.  j )  ->  (/)  e.  U. j )
3735, 36mpan 651 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2o  e.  j  ->  (/)  e.  U. j )
3837adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j  e.  On  /\  2o  e.  j )  ->  (/) 
e.  U. j )
39 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( j  e.  On  /\  2o  e.  j )  /\  a  =  (/) )  ->  a  =  (/) )
4039sneqd 3653 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( j  e.  On  /\  2o  e.  j )  /\  a  =  (/) )  ->  { a }  =  { (/) } )
4140eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( j  e.  On  /\  2o  e.  j )  /\  a  =  (/) )  ->  ( { a }  e.  ( Clsd `  j )  <->  { (/) }  e.  ( Clsd `  j )
) )
4238, 41rspcdv 2887 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  e.  On  /\  2o  e.  j )  -> 
( A. a  e. 
U. j { a }  e.  ( Clsd `  j )  ->  { (/) }  e.  ( Clsd `  j
) ) )
432cldopn 16768 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( {
(/) }  e.  ( Clsd `  j )  -> 
( U. j  \  { (/) } )  e.  j )
4442, 43syl6 29 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  e.  On  /\  2o  e.  j )  -> 
( A. a  e. 
U. j { a }  e.  ( Clsd `  j )  ->  ( U. j  \  { (/) } )  e.  j ) )
4533, 44mtod 168 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  On  /\  2o  e.  j )  ->  -.  A. a  e.  U. j { a }  e.  ( Clsd `  j )
)
4645ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  On  ->  ( 2o  e.  j  ->  -.  A. a  e.  U. j { a }  e.  ( Clsd `  j )
) )
4746con2d 107 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  On  ->  ( A. a  e.  U. j { a }  e.  ( Clsd `  j )  ->  -.  2o  e.  j ) )
484, 47syl5 28 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  On  ->  (
j  e.  Fre  ->  -.  2o  e.  j ) )
49 2on 6487 . . . . . . . . 9  |-  2o  e.  On
50 ontri1 4426 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  On  /\  2o  e.  On )  -> 
( j  C_  2o  <->  -.  2o  e.  j ) )
51 onsssuc 4480 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  On  /\  2o  e.  On )  -> 
( j  C_  2o  <->  j  e.  suc  2o ) )
5250, 51bitr3d 246 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  On  /\  2o  e.  On )  -> 
( -.  2o  e.  j 
<->  j  e.  suc  2o ) )
5349, 52mpan2 652 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  On  ->  ( -.  2o  e.  j  <->  j  e.  suc  2o ) )
5448, 53sylibd 205 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  On  ->  (
j  e.  Fre  ->  j  e.  suc  2o ) )
5554imp 418 . . . . . 6  |-  ( ( j  e.  On  /\  j  e.  Fre )  ->  j  e.  suc  2o )
56 0ntop 16651 . . . . . . . . . 10  |-  -.  (/)  e.  Top
57 t1top 17058 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  e.  Fre  ->  (/)  e.  Top )
5856, 57mto 167 . . . . . . . . 9  |-  -.  (/)  e.  Fre
59 nelneq 2381 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  Fre  /\  -.  (/)  e.  Fre )  ->  -.  j  =  (/) )
6058, 59mpan2 652 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  Fre  ->  -.  j  =  (/) )
61 elsni 3664 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  { (/) }  ->  j  =  (/) )
6260, 61nsyl 113 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  Fre  ->  -.  j  e.  { (/) } )
6362adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( j  e.  On  /\  j  e.  Fre )  ->  -.  j  e.  { (/)
} )
64 eldif 3162 . . . . . 6  |-  ( j  e.  ( suc  2o  \  { (/) } )  <->  ( j  e.  suc  2o  /\  -.  j  e.  { (/) } ) )
6555, 63, 64sylanbrc 645 . . . . 5  |-  ( ( j  e.  On  /\  j  e.  Fre )  ->  j  e.  ( suc 
2o  \  { (/) } ) )
661, 65sylbi 187 . . . 4  |-  ( j  e.  ( On  i^i  Fre )  ->  j  e.  ( suc  2o  \  { (/)
} ) )
6766ssriv 3184 . . 3  |-  ( On 
i^i  Fre )  C_  ( suc  2o  \  { (/) } )
68 df-suc 4398 . . . . . 6  |-  suc  2o  =  ( 2o  u.  { 2o } )
6968difeq1i 3290 . . . . 5  |-  ( suc 
2o  \  { (/) } )  =  ( ( 2o  u.  { 2o }
)  \  { (/) } )
70 difundir 3422 . . . . 5  |-  ( ( 2o  u.  { 2o } )  \  { (/)
} )  =  ( ( 2o  \  { (/)
} )  u.  ( { 2o }  \  { (/)
} ) )
7169, 70eqtri 2303 . . . 4  |-  ( suc 
2o  \  { (/) } )  =  ( ( 2o 
\  { (/) } )  u.  ( { 2o }  \  { (/) } ) )
72 df-pr 3647 . . . . 5  |-  { 1o ,  2o }  =  ( { 1o }  u.  { 2o } )
73 df2o3 6492 . . . . . . . . 9  |-  2o  =  { (/) ,  1o }
74 df-pr 3647 . . . . . . . . 9  |-  { (/) ,  1o }  =  ( { (/) }  u.  { 1o } )
7573, 74eqtri 2303 . . . . . . . 8  |-  2o  =  ( { (/) }  u.  { 1o } )
7675difeq1i 3290 . . . . . . 7  |-  ( 2o 
\  { (/) } )  =  ( ( {
(/) }  u.  { 1o } )  \  { (/)
} )
77 difundir 3422 . . . . . . 7  |-  ( ( { (/) }  u.  { 1o } )  \  { (/)
} )  =  ( ( { (/) }  \  { (/) } )  u.  ( { 1o }  \  { (/) } ) )
78 difid 3522 . . . . . . . . 9  |-  ( {
(/) }  \  { (/) } )  =  (/)
79 1n0 6494 . . . . . . . . . . . 12  |-  1o  =/=  (/)
80 disjsn2 3694 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1o  =/=  (/)  ->  ( { 1o }  i^i  { (/) } )  =  (/) )
8179, 80ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { 1o }  i^i  { (/)
} )  =  (/)
8281difeq2i 3291 . . . . . . . . . 10  |-  ( { 1o }  \  ( { 1o }  i^i  { (/)
} ) )  =  ( { 1o }  \  (/) )
83 difin 3406 . . . . . . . . . 10  |-  ( { 1o }  \  ( { 1o }  i^i  { (/)
} ) )  =  ( { 1o }  \  { (/) } )
84 dif0 3524 . . . . . . . . . 10  |-  ( { 1o }  \  (/) )  =  { 1o }
8582, 83, 843eqtr3i 2311 . . . . . . . . 9  |-  ( { 1o }  \  { (/)
} )  =  { 1o }
8678, 85uneq12i 3327 . . . . . . . 8  |-  ( ( { (/) }  \  { (/)
} )  u.  ( { 1o }  \  { (/)
} ) )  =  ( (/)  u.  { 1o } )
87 uncom 3319 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  u. 
{ 1o } )  =  ( { 1o }  u.  (/) )
88 un0 3479 . . . . . . . 8  |-  ( { 1o }  u.  (/) )  =  { 1o }
8986, 87, 883eqtri 2307 . . . . . . 7  |-  ( ( { (/) }  \  { (/)
} )  u.  ( { 1o }  \  { (/)
} ) )  =  { 1o }
9076, 77, 893eqtri 2307 . . . . . 6  |-  ( 2o 
\  { (/) } )  =  { 1o }
91 2on0 6488 . . . . . . . . 9  |-  2o  =/=  (/)
92 disjsn2 3694 . . . . . . . . 9  |-  ( 2o  =/=  (/)  ->  ( { 2o }  i^i  { (/) } )  =  (/) )
9391, 92ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( { 2o }  i^i  { (/)
} )  =  (/)
9493difeq2i 3291 . . . . . . 7  |-  ( { 2o }  \  ( { 2o }  i^i  { (/)
} ) )  =  ( { 2o }  \  (/) )
95 difin 3406 . . . . . . 7  |-  ( { 2o }  \  ( { 2o }  i^i  { (/)
} ) )  =  ( { 2o }  \  { (/) } )
96 dif0 3524 . . . . . . 7  |-  ( { 2o }  \  (/) )  =  { 2o }
9794, 95, 963eqtr3i 2311 . . . . . 6  |-  ( { 2o }  \  { (/)
} )  =  { 2o }
9890, 97uneq12i 3327 . . . . 5  |-  ( ( 2o  \  { (/) } )  u.  ( { 2o }  \  { (/)
} ) )  =  ( { 1o }  u.  { 2o } )
9972, 98eqtr4i 2306 . . . 4  |-  { 1o ,  2o }  =  ( ( 2o  \  { (/)
} )  u.  ( { 2o }  \  { (/)
} ) )
10071, 99eqtr4i 2306 . . 3  |-  ( suc 
2o  \  { (/) } )  =  { 1o ,  2o }
10167, 100sseqtri 3210 . 2  |-  ( On 
i^i  Fre )  C_  { 1o ,  2o }
102 ssoninhaus 24887 . . 3  |-  { 1o ,  2o }  C_  ( On  i^i  Haus )
103 haust1 17080 . . . . 5  |-  ( j  e.  Haus  ->  j  e. 
Fre )
104103ssriv 3184 . . . 4  |-  Haus  C_  Fre
105 sslin 3395 . . . 4  |-  ( Haus  C_  Fre  ->  ( On  i^i  Haus )  C_  ( On  i^i  Fre ) )
106104, 105ax-mp 8 . . 3  |-  ( On 
i^i  Haus )  C_  ( On  i^i  Fre )
107102, 106sstri 3188 . 2  |-  { 1o ,  2o }  C_  ( On  i^i  Fre )
108101, 107eqssi 3195 1  |-  ( On 
i^i  Fre )  =  { 1o ,  2o }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543    \ cdif 3149    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {csn 3640   {cpr 3641   U.cuni 3827   Oncon0 4392   suc csuc 4394   ` cfv 5255   1oc1o 6472   2oc2o 6473   Topctop 16631   Clsdccld 16753   Frect1 17035   Hauscha 17036
This theorem is referenced by:  oninhaus  24889
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-suc 4398  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-fv 5263  df-1o 6479  df-2o 6480  df-topgen 13344  df-top 16636  df-topon 16639  df-cld 16756  df-t1 17042  df-haus 17043
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