Users' Mathboxes Mathbox for Chen-Pang He < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  onintopsscon Unicode version

Theorem onintopsscon 25265
Description: An ordinal topology is connected, expressed in constants. (Contributed by Chen-Pang He, 16-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
onintopsscon  |-  ( On 
i^i  Top )  C_  Con

Proof of Theorem onintopsscon
StepHypRef Expression
1 elin 3392 . . 3  |-  ( x  e.  ( On  i^i  Top )  <->  ( x  e.  On  /\  x  e. 
Top ) )
2 eloni 4439 . . . . 5  |-  ( x  e.  On  ->  Ord  x )
3 ordtopcon 25264 . . . . 5  |-  ( Ord  x  ->  ( x  e.  Top  <->  x  e.  Con ) )
42, 3syl 15 . . . 4  |-  ( x  e.  On  ->  (
x  e.  Top  <->  x  e.  Con ) )
54biimpa 470 . . 3  |-  ( ( x  e.  On  /\  x  e.  Top )  ->  x  e.  Con )
61, 5sylbi 187 . 2  |-  ( x  e.  ( On  i^i  Top )  ->  x  e.  Con )
76ssriv 3218 1  |-  ( On 
i^i  Top )  C_  Con
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1701    i^i cin 3185    C_ wss 3186   Ord word 4428   Oncon0 4429   Topctop 16687   Conccon 17193
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-ral 2582  df-rex 2583  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-suc 4435  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-fv 5300  df-topgen 13393  df-top 16692  df-bases 16694  df-cld 16812  df-con 17194
  Copyright terms: Public domain W3C validator