Users' Mathboxes Mathbox for Chen-Pang He < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  onintopsscon Unicode version

Theorem onintopsscon 24879
Description: An ordinal topology is connected, expressed in constants. (Contributed by Chen-Pang He, 16-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
onintopsscon  |-  ( On 
i^i  Top )  C_  Con

Proof of Theorem onintopsscon
StepHypRef Expression
1 elin 3358 . . 3  |-  ( x  e.  ( On  i^i  Top )  <->  ( x  e.  On  /\  x  e. 
Top ) )
2 eloni 4402 . . . . 5  |-  ( x  e.  On  ->  Ord  x )
3 ordtopcon 24878 . . . . 5  |-  ( Ord  x  ->  ( x  e.  Top  <->  x  e.  Con ) )
42, 3syl 15 . . . 4  |-  ( x  e.  On  ->  (
x  e.  Top  <->  x  e.  Con ) )
54biimpa 470 . . 3  |-  ( ( x  e.  On  /\  x  e.  Top )  ->  x  e.  Con )
61, 5sylbi 187 . 2  |-  ( x  e.  ( On  i^i  Top )  ->  x  e.  Con )
76ssriv 3184 1  |-  ( On 
i^i  Top )  C_  Con
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1684    i^i cin 3151    C_ wss 3152   Ord word 4391   Oncon0 4392   Topctop 16631   Conccon 17137
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-suc 4398  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-fv 5263  df-topgen 13344  df-top 16636  df-bases 16638  df-cld 16756  df-con 17138
  Copyright terms: Public domain W3C validator