Users' Mathboxes Mathbox for Chen-Pang He < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  onintopsscon Structured version   Unicode version

Theorem onintopsscon 26190
Description: An ordinal topology is connected, expressed in constants. (Contributed by Chen-Pang He, 16-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
onintopsscon  |-  ( On 
i^i  Top )  C_  Con

Proof of Theorem onintopsscon
StepHypRef Expression
1 elin 3530 . . 3  |-  ( x  e.  ( On  i^i  Top )  <->  ( x  e.  On  /\  x  e. 
Top ) )
2 eloni 4591 . . . . 5  |-  ( x  e.  On  ->  Ord  x )
3 ordtopcon 26189 . . . . 5  |-  ( Ord  x  ->  ( x  e.  Top  <->  x  e.  Con ) )
42, 3syl 16 . . . 4  |-  ( x  e.  On  ->  (
x  e.  Top  <->  x  e.  Con ) )
54biimpa 471 . . 3  |-  ( ( x  e.  On  /\  x  e.  Top )  ->  x  e.  Con )
61, 5sylbi 188 . 2  |-  ( x  e.  ( On  i^i  Top )  ->  x  e.  Con )
76ssriv 3352 1  |-  ( On 
i^i  Top )  C_  Con
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1725    i^i cin 3319    C_ wss 3320   Ord word 4580   Oncon0 4581   Topctop 16958   Conccon 17474
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-suc 4587  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-fv 5462  df-topgen 13667  df-top 16963  df-bases 16965  df-cld 17083  df-con 17475
  Copyright terms: Public domain W3C validator