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Theorem onnseq 6598
Description: There are no length  om decreasing sequences in the ordinals. See also noinfep 7606 for a stronger version assuming Regularity. (Contributed by Mario Carneiro, 19-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
onnseq  |-  ( ( F `  (/) )  e.  On  ->  E. x  e.  om  -.  ( F `
 suc  x )  e.  ( F `  x
) )
Distinct variable group:    x, F

Proof of Theorem onnseq
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 epweon 4756 . . . . . 6  |-  _E  We  On
21a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  (/) )  e.  On  /\  A. x  e.  om  ( F `  suc  x )  e.  ( F `  x ) )  ->  _E  We  On )
3 fveq2 5720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  (/)  ->  ( F `
 y )  =  ( F `  (/) ) )
43eleq1d 2501 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  (/)  ->  ( ( F `  y )  e.  On  <->  ( F `  (/) )  e.  On ) )
5 fveq2 5720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  z  ->  ( F `  y )  =  ( F `  z ) )
65eleq1d 2501 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  z  ->  (
( F `  y
)  e.  On  <->  ( F `  z )  e.  On ) )
7 fveq2 5720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( F `  y
)  =  ( F `
 suc  z )
)
87eleq1d 2501 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( ( F `  y )  e.  On  <->  ( F `  suc  z
)  e.  On ) )
9 simpl 444 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  (/) )  e.  On  /\  A. x  e.  om  ( F `  suc  x )  e.  ( F `  x ) )  ->  ( F `  (/) )  e.  On )
10 suceq 4638 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  z  ->  suc  x  =  suc  z )
1110fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  z  ->  ( F `  suc  x )  =  ( F `  suc  z ) )
12 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  z  ->  ( F `  x )  =  ( F `  z ) )
1311, 12eleq12d 2503 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  z  ->  (
( F `  suc  x )  e.  ( F `  x )  <-> 
( F `  suc  z )  e.  ( F `  z ) ) )
1413rspcv 3040 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  om  ->  ( A. x  e.  om  ( F `  suc  x
)  e.  ( F `
 x )  -> 
( F `  suc  z )  e.  ( F `  z ) ) )
15 onelon 4598 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  On  /\  ( F `  suc  z
)  e.  ( F `
 z ) )  ->  ( F `  suc  z )  e.  On )
1615expcom 425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F `  suc  z
)  e.  ( F `
 z )  -> 
( ( F `  z )  e.  On  ->  ( F `  suc  z )  e.  On ) )
1714, 16syl6 31 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  om  ->  ( A. x  e.  om  ( F `  suc  x
)  e.  ( F `
 x )  -> 
( ( F `  z )  e.  On  ->  ( F `  suc  z )  e.  On ) ) )
1817adantld 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  om  ->  (
( ( F `  (/) )  e.  On  /\  A. x  e.  om  ( F `  suc  x )  e.  ( F `  x ) )  -> 
( ( F `  z )  e.  On  ->  ( F `  suc  z )  e.  On ) ) )
194, 6, 8, 9, 18finds2 4865 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  om  ->  (
( ( F `  (/) )  e.  On  /\  A. x  e.  om  ( F `  suc  x )  e.  ( F `  x ) )  -> 
( F `  y
)  e.  On ) )
2019com12 29 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  (/) )  e.  On  /\  A. x  e.  om  ( F `  suc  x )  e.  ( F `  x ) )  ->  ( y  e.  om  ->  ( F `  y )  e.  On ) )
2120ralrimiv 2780 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  (/) )  e.  On  /\  A. x  e.  om  ( F `  suc  x )  e.  ( F `  x ) )  ->  A. y  e.  om  ( F `  y )  e.  On )
22 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  om  |->  ( F `
 y ) )  =  ( y  e. 
om  |->  ( F `  y ) )
2322fmpt 5882 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  om  ( F `  y )  e.  On  <->  ( y  e. 
om  |->  ( F `  y ) ) : om --> On )
2421, 23sylib 189 . . . . . 6  |-  ( ( ( F `  (/) )  e.  On  /\  A. x  e.  om  ( F `  suc  x )  e.  ( F `  x ) )  ->  ( y  e.  om  |->  ( F `  y ) ) : om --> On )
25 frn 5589 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  om  |->  ( F `  y ) ) : om --> On  ->  ran  ( y  e.  om  |->  ( F `  y ) )  C_  On )
2624, 25syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  (/) )  e.  On  /\  A. x  e.  om  ( F `  suc  x )  e.  ( F `  x ) )  ->  ran  ( y  e.  om  |->  ( F `
 y ) ) 
C_  On )
27 peano1 4856 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  om
28 fdm 5587 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  om  |->  ( F `  y ) ) : om --> On  ->  dom  ( y  e.  om  |->  ( F `  y ) )  =  om )
2924, 28syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  (/) )  e.  On  /\  A. x  e.  om  ( F `  suc  x )  e.  ( F `  x ) )  ->  dom  ( y  e.  om  |->  ( F `
 y ) )  =  om )
3027, 29syl5eleqr 2522 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  (/) )  e.  On  /\  A. x  e.  om  ( F `  suc  x )  e.  ( F `  x ) )  ->  (/)  e.  dom  ( y  e.  om  |->  ( F `  y ) ) )
31 ne0i 3626 . . . . . . 7  |-  ( (/)  e.  dom  ( y  e. 
om  |->  ( F `  y ) )  ->  dom  ( y  e.  om  |->  ( F `  y ) )  =/=  (/) )
3230, 31syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( F `  (/) )  e.  On  /\  A. x  e.  om  ( F `  suc  x )  e.  ( F `  x ) )  ->  dom  ( y  e.  om  |->  ( F `
 y ) )  =/=  (/) )
33 dm0rn0 5078 . . . . . . 7  |-  ( dom  ( y  e.  om  |->  ( F `  y ) )  =  (/)  <->  ran  ( y  e.  om  |->  ( F `
 y ) )  =  (/) )
3433necon3bii 2630 . . . . . 6  |-  ( dom  ( y  e.  om  |->  ( F `  y ) )  =/=  (/)  <->  ran  ( y  e.  om  |->  ( F `
 y ) )  =/=  (/) )
3532, 34sylib 189 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  (/) )  e.  On  /\  A. x  e.  om  ( F `  suc  x )  e.  ( F `  x ) )  ->  ran  ( y  e.  om  |->  ( F `
 y ) )  =/=  (/) )
36 wefrc 4568 . . . . 5  |-  ( (  _E  We  On  /\  ran  ( y  e.  om  |->  ( F `  y ) )  C_  On  /\  ran  ( y  e.  om  |->  ( F `  y ) )  =/=  (/) )  ->  E. z  e.  ran  ( y  e.  om  |->  ( F `  y ) ) ( ran  (
y  e.  om  |->  ( F `  y ) )  i^i  z )  =  (/) )
372, 26, 35, 36syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( F `  (/) )  e.  On  /\  A. x  e.  om  ( F `  suc  x )  e.  ( F `  x ) )  ->  E. z  e.  ran  ( y  e. 
om  |->  ( F `  y ) ) ( ran  ( y  e. 
om  |->  ( F `  y ) )  i^i  z )  =  (/) )
38 fvex 5734 . . . . . 6  |-  ( F `
 w )  e. 
_V
3938rgenw 2765 . . . . 5  |-  A. w  e.  om  ( F `  w )  e.  _V
40 fveq2 5720 . . . . . . 7  |-  ( y  =  w  ->  ( F `  y )  =  ( F `  w ) )
4140cbvmptv 4292 . . . . . 6  |-  ( y  e.  om  |->  ( F `
 y ) )  =  ( w  e. 
om  |->  ( F `  w ) )
42 ineq2 3528 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( F `  w )  ->  ( ran  ( y  e.  om  |->  ( F `  y ) )  i^i  z )  =  ( ran  (
y  e.  om  |->  ( F `  y ) )  i^i  ( F `
 w ) ) )
4342eqeq1d 2443 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( F `  w )  ->  (
( ran  ( y  e.  om  |->  ( F `  y ) )  i^i  z )  =  (/)  <->  ( ran  ( y  e.  om  |->  ( F `  y ) )  i^i  ( F `
 w ) )  =  (/) ) )
4441, 43rexrnmpt 5871 . . . . 5  |-  ( A. w  e.  om  ( F `  w )  e.  _V  ->  ( E. z  e.  ran  ( y  e.  om  |->  ( F `
 y ) ) ( ran  ( y  e.  om  |->  ( F `
 y ) )  i^i  z )  =  (/) 
<->  E. w  e.  om  ( ran  ( y  e. 
om  |->  ( F `  y ) )  i^i  ( F `  w
) )  =  (/) ) )
4539, 44ax-mp 8 . . . 4  |-  ( E. z  e.  ran  (
y  e.  om  |->  ( F `  y ) ) ( ran  (
y  e.  om  |->  ( F `  y ) )  i^i  z )  =  (/)  <->  E. w  e.  om  ( ran  ( y  e. 
om  |->  ( F `  y ) )  i^i  ( F `  w
) )  =  (/) )
4637, 45sylib 189 . . 3  |-  ( ( ( F `  (/) )  e.  On  /\  A. x  e.  om  ( F `  suc  x )  e.  ( F `  x ) )  ->  E. w  e.  om  ( ran  (
y  e.  om  |->  ( F `  y ) )  i^i  ( F `
 w ) )  =  (/) )
47 peano2 4857 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  om  ->  suc  w  e.  om )
4847adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F `  (/) )  e.  On  /\  A. x  e.  om  ( F `  suc  x )  e.  ( F `  x ) )  /\  w  e.  om )  ->  suc  w  e.  om )
49 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 suc  w )  =  ( F `  suc  w )
50 fveq2 5720 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  suc  w  -> 
( F `  y
)  =  ( F `
 suc  w )
)
5150eqeq2d 2446 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  suc  w  -> 
( ( F `  suc  w )  =  ( F `  y )  <-> 
( F `  suc  w )  =  ( F `  suc  w
) ) )
5251rspcev 3044 . . . . . . . 8  |-  ( ( suc  w  e.  om  /\  ( F `  suc  w )  =  ( F `  suc  w
) )  ->  E. y  e.  om  ( F `  suc  w )  =  ( F `  y ) )
5348, 49, 52sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F `  (/) )  e.  On  /\  A. x  e.  om  ( F `  suc  x )  e.  ( F `  x ) )  /\  w  e.  om )  ->  E. y  e.  om  ( F `  suc  w
)  =  ( F `
 y ) )
54 fvex 5734 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 suc  w )  e.  _V
5522elrnmpt 5109 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  suc  w
)  e.  _V  ->  ( ( F `  suc  w )  e.  ran  ( y  e.  om  |->  ( F `  y ) )  <->  E. y  e.  om  ( F `  suc  w
)  =  ( F `
 y ) ) )
5654, 55ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  suc  w
)  e.  ran  (
y  e.  om  |->  ( F `  y ) )  <->  E. y  e.  om  ( F `  suc  w
)  =  ( F `
 y ) )
5753, 56sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F `  (/) )  e.  On  /\  A. x  e.  om  ( F `  suc  x )  e.  ( F `  x ) )  /\  w  e.  om )  ->  ( F `  suc  w )  e.  ran  ( y  e.  om  |->  ( F `  y ) ) )
58 suceq 4638 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  w  ->  suc  x  =  suc  w )
5958fveq2d 5724 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  w  ->  ( F `  suc  x )  =  ( F `  suc  w ) )
60 fveq2 5720 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  w  ->  ( F `  x )  =  ( F `  w ) )
6159, 60eleq12d 2503 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  w  ->  (
( F `  suc  x )  e.  ( F `  x )  <-> 
( F `  suc  w )  e.  ( F `  w ) ) )
6261rspccva 3043 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  om  ( F `  suc  x
)  e.  ( F `
 x )  /\  w  e.  om )  ->  ( F `  suc  w )  e.  ( F `  w ) )
6362adantll 695 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F `  (/) )  e.  On  /\  A. x  e.  om  ( F `  suc  x )  e.  ( F `  x ) )  /\  w  e.  om )  ->  ( F `  suc  w )  e.  ( F `  w ) )
64 inelcm 3674 . . . . . 6  |-  ( ( ( F `  suc  w )  e.  ran  ( y  e.  om  |->  ( F `  y ) )  /\  ( F `
 suc  w )  e.  ( F `  w
) )  ->  ( ran  ( y  e.  om  |->  ( F `  y ) )  i^i  ( F `
 w ) )  =/=  (/) )
6557, 63, 64syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F `  (/) )  e.  On  /\  A. x  e.  om  ( F `  suc  x )  e.  ( F `  x ) )  /\  w  e.  om )  ->  ( ran  ( y  e.  om  |->  ( F `
 y ) )  i^i  ( F `  w ) )  =/=  (/) )
6665neneqd 2614 . . . 4  |-  ( ( ( ( F `  (/) )  e.  On  /\  A. x  e.  om  ( F `  suc  x )  e.  ( F `  x ) )  /\  w  e.  om )  ->  -.  ( ran  (
y  e.  om  |->  ( F `  y ) )  i^i  ( F `
 w ) )  =  (/) )
6766nrexdv 2801 . . 3  |-  ( ( ( F `  (/) )  e.  On  /\  A. x  e.  om  ( F `  suc  x )  e.  ( F `  x ) )  ->  -.  E. w  e.  om  ( ran  (
y  e.  om  |->  ( F `  y ) )  i^i  ( F `
 w ) )  =  (/) )
6846, 67pm2.65da 560 . 2  |-  ( ( F `  (/) )  e.  On  ->  -.  A. x  e.  om  ( F `  suc  x )  e.  ( F `  x ) )
69 rexnal 2708 . 2  |-  ( E. x  e.  om  -.  ( F `  suc  x
)  e.  ( F `
 x )  <->  -.  A. x  e.  om  ( F `  suc  x )  e.  ( F `  x ) )
7068, 69sylibr 204 1  |-  ( ( F `  (/) )  e.  On  ->  E. x  e.  om  -.  ( F `
 suc  x )  e.  ( F `  x
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698   _Vcvv 2948    i^i cin 3311    C_ wss 3312   (/)c0 3620    e. cmpt 4258    _E cep 4484    We wwe 4532   Oncon0 4573   suc csuc 4575   omcom 4837   dom cdm 4870   ran crn 4871   -->wf 5442   ` cfv 5446
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-fv 5454
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