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Theorem onnseq 6377
Description: There are no length  om decreasing sequences in the ordinals. See also noinfep 7376 for a stronger version assuming Regularity. (Contributed by Mario Carneiro, 19-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
onnseq  |-  ( ( F `  (/) )  e.  On  ->  E. x  e.  om  -.  ( F `
 suc  x )  e.  ( F `  x
) )
Distinct variable group:    x, F

Proof of Theorem onnseq
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 epweon 4591 . . . . . 6  |-  _E  We  On
21a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  (/) )  e.  On  /\  A. x  e.  om  ( F `  suc  x )  e.  ( F `  x ) )  ->  _E  We  On )
3 fveq2 5541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  (/)  ->  ( F `
 y )  =  ( F `  (/) ) )
43eleq1d 2362 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  (/)  ->  ( ( F `  y )  e.  On  <->  ( F `  (/) )  e.  On ) )
5 fveq2 5541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  z  ->  ( F `  y )  =  ( F `  z ) )
65eleq1d 2362 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  z  ->  (
( F `  y
)  e.  On  <->  ( F `  z )  e.  On ) )
7 fveq2 5541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( F `  y
)  =  ( F `
 suc  z )
)
87eleq1d 2362 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( ( F `  y )  e.  On  <->  ( F `  suc  z
)  e.  On ) )
9 simpl 443 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  (/) )  e.  On  /\  A. x  e.  om  ( F `  suc  x )  e.  ( F `  x ) )  ->  ( F `  (/) )  e.  On )
10 suceq 4473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  z  ->  suc  x  =  suc  z )
1110fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  z  ->  ( F `  suc  x )  =  ( F `  suc  z ) )
12 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  z  ->  ( F `  x )  =  ( F `  z ) )
1311, 12eleq12d 2364 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  z  ->  (
( F `  suc  x )  e.  ( F `  x )  <-> 
( F `  suc  z )  e.  ( F `  z ) ) )
1413rspcv 2893 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  om  ->  ( A. x  e.  om  ( F `  suc  x
)  e.  ( F `
 x )  -> 
( F `  suc  z )  e.  ( F `  z ) ) )
15 onelon 4433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  On  /\  ( F `  suc  z
)  e.  ( F `
 z ) )  ->  ( F `  suc  z )  e.  On )
1615expcom 424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F `  suc  z
)  e.  ( F `
 z )  -> 
( ( F `  z )  e.  On  ->  ( F `  suc  z )  e.  On ) )
1714, 16syl6 29 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  om  ->  ( A. x  e.  om  ( F `  suc  x
)  e.  ( F `
 x )  -> 
( ( F `  z )  e.  On  ->  ( F `  suc  z )  e.  On ) ) )
1817adantld 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  om  ->  (
( ( F `  (/) )  e.  On  /\  A. x  e.  om  ( F `  suc  x )  e.  ( F `  x ) )  -> 
( ( F `  z )  e.  On  ->  ( F `  suc  z )  e.  On ) ) )
194, 6, 8, 9, 18finds2 4700 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  om  ->  (
( ( F `  (/) )  e.  On  /\  A. x  e.  om  ( F `  suc  x )  e.  ( F `  x ) )  -> 
( F `  y
)  e.  On ) )
2019com12 27 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  (/) )  e.  On  /\  A. x  e.  om  ( F `  suc  x )  e.  ( F `  x ) )  ->  ( y  e.  om  ->  ( F `  y )  e.  On ) )
2120ralrimiv 2638 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  (/) )  e.  On  /\  A. x  e.  om  ( F `  suc  x )  e.  ( F `  x ) )  ->  A. y  e.  om  ( F `  y )  e.  On )
22 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  om  |->  ( F `
 y ) )  =  ( y  e. 
om  |->  ( F `  y ) )
2322fmpt 5697 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  om  ( F `  y )  e.  On  <->  ( y  e. 
om  |->  ( F `  y ) ) : om --> On )
2421, 23sylib 188 . . . . . 6  |-  ( ( ( F `  (/) )  e.  On  /\  A. x  e.  om  ( F `  suc  x )  e.  ( F `  x ) )  ->  ( y  e.  om  |->  ( F `  y ) ) : om --> On )
25 frn 5411 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  om  |->  ( F `  y ) ) : om --> On  ->  ran  ( y  e.  om  |->  ( F `  y ) )  C_  On )
2624, 25syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  (/) )  e.  On  /\  A. x  e.  om  ( F `  suc  x )  e.  ( F `  x ) )  ->  ran  ( y  e.  om  |->  ( F `
 y ) ) 
C_  On )
27 peano1 4691 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  om
28 fdm 5409 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  om  |->  ( F `  y ) ) : om --> On  ->  dom  ( y  e.  om  |->  ( F `  y ) )  =  om )
2924, 28syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  (/) )  e.  On  /\  A. x  e.  om  ( F `  suc  x )  e.  ( F `  x ) )  ->  dom  ( y  e.  om  |->  ( F `
 y ) )  =  om )
3027, 29syl5eleqr 2383 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  (/) )  e.  On  /\  A. x  e.  om  ( F `  suc  x )  e.  ( F `  x ) )  ->  (/)  e.  dom  ( y  e.  om  |->  ( F `  y ) ) )
31 ne0i 3474 . . . . . . 7  |-  ( (/)  e.  dom  ( y  e. 
om  |->  ( F `  y ) )  ->  dom  ( y  e.  om  |->  ( F `  y ) )  =/=  (/) )
3230, 31syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( F `  (/) )  e.  On  /\  A. x  e.  om  ( F `  suc  x )  e.  ( F `  x ) )  ->  dom  ( y  e.  om  |->  ( F `
 y ) )  =/=  (/) )
33 dm0rn0 4911 . . . . . . 7  |-  ( dom  ( y  e.  om  |->  ( F `  y ) )  =  (/)  <->  ran  ( y  e.  om  |->  ( F `
 y ) )  =  (/) )
3433necon3bii 2491 . . . . . 6  |-  ( dom  ( y  e.  om  |->  ( F `  y ) )  =/=  (/)  <->  ran  ( y  e.  om  |->  ( F `
 y ) )  =/=  (/) )
3532, 34sylib 188 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  (/) )  e.  On  /\  A. x  e.  om  ( F `  suc  x )  e.  ( F `  x ) )  ->  ran  ( y  e.  om  |->  ( F `
 y ) )  =/=  (/) )
36 wefrc 4403 . . . . 5  |-  ( (  _E  We  On  /\  ran  ( y  e.  om  |->  ( F `  y ) )  C_  On  /\  ran  ( y  e.  om  |->  ( F `  y ) )  =/=  (/) )  ->  E. z  e.  ran  ( y  e.  om  |->  ( F `  y ) ) ( ran  (
y  e.  om  |->  ( F `  y ) )  i^i  z )  =  (/) )
372, 26, 35, 36syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( F `  (/) )  e.  On  /\  A. x  e.  om  ( F `  suc  x )  e.  ( F `  x ) )  ->  E. z  e.  ran  ( y  e. 
om  |->  ( F `  y ) ) ( ran  ( y  e. 
om  |->  ( F `  y ) )  i^i  z )  =  (/) )
38 fvex 5555 . . . . . 6  |-  ( F `
 w )  e. 
_V
3938rgenw 2623 . . . . 5  |-  A. w  e.  om  ( F `  w )  e.  _V
40 fveq2 5541 . . . . . . 7  |-  ( y  =  w  ->  ( F `  y )  =  ( F `  w ) )
4140cbvmptv 4127 . . . . . 6  |-  ( y  e.  om  |->  ( F `
 y ) )  =  ( w  e. 
om  |->  ( F `  w ) )
42 ineq2 3377 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( F `  w )  ->  ( ran  ( y  e.  om  |->  ( F `  y ) )  i^i  z )  =  ( ran  (
y  e.  om  |->  ( F `  y ) )  i^i  ( F `
 w ) ) )
4342eqeq1d 2304 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( F `  w )  ->  (
( ran  ( y  e.  om  |->  ( F `  y ) )  i^i  z )  =  (/)  <->  ( ran  ( y  e.  om  |->  ( F `  y ) )  i^i  ( F `
 w ) )  =  (/) ) )
4441, 43rexrnmpt 5686 . . . . 5  |-  ( A. w  e.  om  ( F `  w )  e.  _V  ->  ( E. z  e.  ran  ( y  e.  om  |->  ( F `
 y ) ) ( ran  ( y  e.  om  |->  ( F `
 y ) )  i^i  z )  =  (/) 
<->  E. w  e.  om  ( ran  ( y  e. 
om  |->  ( F `  y ) )  i^i  ( F `  w
) )  =  (/) ) )
4539, 44ax-mp 8 . . . 4  |-  ( E. z  e.  ran  (
y  e.  om  |->  ( F `  y ) ) ( ran  (
y  e.  om  |->  ( F `  y ) )  i^i  z )  =  (/)  <->  E. w  e.  om  ( ran  ( y  e. 
om  |->  ( F `  y ) )  i^i  ( F `  w
) )  =  (/) )
4637, 45sylib 188 . . 3  |-  ( ( ( F `  (/) )  e.  On  /\  A. x  e.  om  ( F `  suc  x )  e.  ( F `  x ) )  ->  E. w  e.  om  ( ran  (
y  e.  om  |->  ( F `  y ) )  i^i  ( F `
 w ) )  =  (/) )
47 peano2 4692 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  om  ->  suc  w  e.  om )
4847adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F `  (/) )  e.  On  /\  A. x  e.  om  ( F `  suc  x )  e.  ( F `  x ) )  /\  w  e.  om )  ->  suc  w  e.  om )
49 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 suc  w )  =  ( F `  suc  w )
50 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  suc  w  -> 
( F `  y
)  =  ( F `
 suc  w )
)
5150eqeq2d 2307 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  suc  w  -> 
( ( F `  suc  w )  =  ( F `  y )  <-> 
( F `  suc  w )  =  ( F `  suc  w
) ) )
5251rspcev 2897 . . . . . . . 8  |-  ( ( suc  w  e.  om  /\  ( F `  suc  w )  =  ( F `  suc  w
) )  ->  E. y  e.  om  ( F `  suc  w )  =  ( F `  y ) )
5348, 49, 52sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F `  (/) )  e.  On  /\  A. x  e.  om  ( F `  suc  x )  e.  ( F `  x ) )  /\  w  e.  om )  ->  E. y  e.  om  ( F `  suc  w
)  =  ( F `
 y ) )
54 fvex 5555 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 suc  w )  e.  _V
5522elrnmpt 4942 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  suc  w
)  e.  _V  ->  ( ( F `  suc  w )  e.  ran  ( y  e.  om  |->  ( F `  y ) )  <->  E. y  e.  om  ( F `  suc  w
)  =  ( F `
 y ) ) )
5654, 55ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  suc  w
)  e.  ran  (
y  e.  om  |->  ( F `  y ) )  <->  E. y  e.  om  ( F `  suc  w
)  =  ( F `
 y ) )
5753, 56sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F `  (/) )  e.  On  /\  A. x  e.  om  ( F `  suc  x )  e.  ( F `  x ) )  /\  w  e.  om )  ->  ( F `  suc  w )  e.  ran  ( y  e.  om  |->  ( F `  y ) ) )
58 suceq 4473 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  w  ->  suc  x  =  suc  w )
5958fveq2d 5545 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  w  ->  ( F `  suc  x )  =  ( F `  suc  w ) )
60 fveq2 5541 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  w  ->  ( F `  x )  =  ( F `  w ) )
6159, 60eleq12d 2364 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  w  ->  (
( F `  suc  x )  e.  ( F `  x )  <-> 
( F `  suc  w )  e.  ( F `  w ) ) )
6261rspccva 2896 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  om  ( F `  suc  x
)  e.  ( F `
 x )  /\  w  e.  om )  ->  ( F `  suc  w )  e.  ( F `  w ) )
6362adantll 694 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F `  (/) )  e.  On  /\  A. x  e.  om  ( F `  suc  x )  e.  ( F `  x ) )  /\  w  e.  om )  ->  ( F `  suc  w )  e.  ( F `  w ) )
64 inelcm 3522 . . . . . 6  |-  ( ( ( F `  suc  w )  e.  ran  ( y  e.  om  |->  ( F `  y ) )  /\  ( F `
 suc  w )  e.  ( F `  w
) )  ->  ( ran  ( y  e.  om  |->  ( F `  y ) )  i^i  ( F `
 w ) )  =/=  (/) )
6557, 63, 64syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F `  (/) )  e.  On  /\  A. x  e.  om  ( F `  suc  x )  e.  ( F `  x ) )  /\  w  e.  om )  ->  ( ran  ( y  e.  om  |->  ( F `
 y ) )  i^i  ( F `  w ) )  =/=  (/) )
6665neneqd 2475 . . . 4  |-  ( ( ( ( F `  (/) )  e.  On  /\  A. x  e.  om  ( F `  suc  x )  e.  ( F `  x ) )  /\  w  e.  om )  ->  -.  ( ran  (
y  e.  om  |->  ( F `  y ) )  i^i  ( F `
 w ) )  =  (/) )
6766nrexdv 2659 . . 3  |-  ( ( ( F `  (/) )  e.  On  /\  A. x  e.  om  ( F `  suc  x )  e.  ( F `  x ) )  ->  -.  E. w  e.  om  ( ran  (
y  e.  om  |->  ( F `  y ) )  i^i  ( F `
 w ) )  =  (/) )
6846, 67pm2.65da 559 . 2  |-  ( ( F `  (/) )  e.  On  ->  -.  A. x  e.  om  ( F `  suc  x )  e.  ( F `  x ) )
69 rexnal 2567 . 2  |-  ( E. x  e.  om  -.  ( F `  suc  x
)  e.  ( F `
 x )  <->  -.  A. x  e.  om  ( F `  suc  x )  e.  ( F `  x ) )
7068, 69sylibr 203 1  |-  ( ( F `  (/) )  e.  On  ->  E. x  e.  om  -.  ( F `
 suc  x )  e.  ( F `  x
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468    e. cmpt 4093    _E cep 4319    We wwe 4367   Oncon0 4408   suc csuc 4410   omcom 4672   dom cdm 4705   ran crn 4706   -->wf 5267   ` cfv 5271
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279
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