Users' Mathboxes Mathbox for Chen-Pang He < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  onpsstopbas Unicode version

Theorem onpsstopbas 24869
Description: The class of ordinal numbers is a proper subclass of the class of topological bases. (Contributed by Chen-Pang He, 9-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
onpsstopbas  |-  On  C.  TopBases

Proof of Theorem onpsstopbas
StepHypRef Expression
1 onsstopbas 24868 . 2  |-  On  C_  TopBases
2 indistop 16739 . . . 4  |-  { (/) ,  { { (/) } } }  e.  Top
3 topbas 16710 . . . 4  |-  ( {
(/) ,  { { (/) } } }  e.  Top  ->  { (/) ,  { { (/)
} } }  e.  TopBases )
42, 3ax-mp 8 . . 3  |-  { (/) ,  { { (/) } } }  e.  TopBases
5 snex 4216 . . . . . 6  |-  { { (/)
} }  e.  _V
65prid2 3735 . . . . 5  |-  { { (/)
} }  e.  { (/)
,  { { (/) } } }
7 snsn0non 4511 . . . . 5  |-  -.  { { (/) } }  e.  On
8 mth8 138 . . . . 5  |-  ( { { (/) } }  e.  {
(/) ,  { { (/) } } }  ->  ( -.  { { (/) } }  e.  On  ->  -.  ( { { (/) } }  e.  {
(/) ,  { { (/) } } }  ->  { { (/)
} }  e.  On ) ) )
96, 7, 8mp2 17 . . . 4  |-  -.  ( { { (/) } }  e.  {
(/) ,  { { (/) } } }  ->  { { (/)
} }  e.  On )
10 onelon 4417 . . . . 5  |-  ( ( { (/) ,  { { (/)
} } }  e.  On  /\  { { (/) } }  e.  { (/) ,  { { (/) } } } )  ->  { { (/)
} }  e.  On )
1110ex 423 . . . 4  |-  ( {
(/) ,  { { (/) } } }  e.  On  ->  ( { { (/) } }  e.  { (/) ,  { { (/) } } }  ->  { { (/) } }  e.  On ) )
129, 11mto 167 . . 3  |-  -.  { (/)
,  { { (/) } } }  e.  On
134, 12pm3.2i 441 . 2  |-  ( {
(/) ,  { { (/) } } }  e.  TopBases  /\  -.  { (/) ,  { { (/)
} } }  e.  On )
14 ssnelpss 3517 . 2  |-  ( On  C_ 
TopBases  ->  ( ( {
(/) ,  { { (/) } } }  e.  TopBases  /\  -.  { (/) ,  { { (/)
} } }  e.  On )  ->  On  C.  TopBases ) )
151, 13, 14mp2 17 1  |-  On  C.  TopBases
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1684    C_ wss 3152    C. wpss 3153   (/)c0 3455   {csn 3640   {cpr 3641   Oncon0 4392   Topctop 16631   TopBasesctb 16635
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639
  Copyright terms: Public domain W3C validator