Users' Mathboxes Mathbox for Chen-Pang He < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  onpsstopbas Unicode version

Theorem onpsstopbas 25255
Description: The class of ordinal numbers is a proper subclass of the class of topological bases. (Contributed by Chen-Pang He, 9-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
onpsstopbas  |-  On  C.  TopBases

Proof of Theorem onpsstopbas
StepHypRef Expression
1 onsstopbas 25254 . 2  |-  On  C_  TopBases
2 indistop 16795 . . . 4  |-  { (/) ,  { { (/) } } }  e.  Top
3 topbas 16766 . . . 4  |-  ( {
(/) ,  { { (/) } } }  e.  Top  ->  { (/) ,  { { (/)
} } }  e.  TopBases )
42, 3ax-mp 8 . . 3  |-  { (/) ,  { { (/) } } }  e.  TopBases
5 snex 4253 . . . . . 6  |-  { { (/)
} }  e.  _V
65prid2 3769 . . . . 5  |-  { { (/)
} }  e.  { (/)
,  { { (/) } } }
7 snsn0non 4548 . . . . 5  |-  -.  { { (/) } }  e.  On
8 mth8 138 . . . . 5  |-  ( { { (/) } }  e.  {
(/) ,  { { (/) } } }  ->  ( -.  { { (/) } }  e.  On  ->  -.  ( { { (/) } }  e.  {
(/) ,  { { (/) } } }  ->  { { (/)
} }  e.  On ) ) )
96, 7, 8mp2 17 . . . 4  |-  -.  ( { { (/) } }  e.  {
(/) ,  { { (/) } } }  ->  { { (/)
} }  e.  On )
10 onelon 4454 . . . . 5  |-  ( ( { (/) ,  { { (/)
} } }  e.  On  /\  { { (/) } }  e.  { (/) ,  { { (/) } } } )  ->  { { (/)
} }  e.  On )
1110ex 423 . . . 4  |-  ( {
(/) ,  { { (/) } } }  e.  On  ->  ( { { (/) } }  e.  { (/) ,  { { (/) } } }  ->  { { (/) } }  e.  On ) )
129, 11mto 167 . . 3  |-  -.  { (/)
,  { { (/) } } }  e.  On
134, 12pm3.2i 441 . 2  |-  ( {
(/) ,  { { (/) } } }  e.  TopBases  /\  -.  { (/) ,  { { (/)
} } }  e.  On )
14 ssnelpss 3551 . 2  |-  ( On  C_ 
TopBases  ->  ( ( {
(/) ,  { { (/) } } }  e.  TopBases  /\  -.  { (/) ,  { { (/)
} } }  e.  On )  ->  On  C.  TopBases ) )
151, 13, 14mp2 17 1  |-  On  C.  TopBases
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1701    C_ wss 3186    C. wpss 3187   (/)c0 3489   {csn 3674   {cpr 3675   Oncon0 4429   Topctop 16687   TopBasesctb 16691
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-ral 2582  df-rex 2583  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-op 3683  df-uni 3865  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fv 5300  df-top 16692  df-bases 16694  df-topon 16695
  Copyright terms: Public domain W3C validator