Users' Mathboxes Mathbox for Chen-Pang He < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  onpsstopbas Structured version   Unicode version

Theorem onpsstopbas 26182
Description: The class of ordinal numbers is a proper subclass of the class of topological bases. (Contributed by Chen-Pang He, 9-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
onpsstopbas  |-  On  C.  TopBases

Proof of Theorem onpsstopbas
StepHypRef Expression
1 onsstopbas 26181 . 2  |-  On  C_  TopBases
2 indistop 17068 . . . 4  |-  { (/) ,  { { (/) } } }  e.  Top
3 topbas 17039 . . . 4  |-  ( {
(/) ,  { { (/) } } }  e.  Top  ->  { (/) ,  { { (/)
} } }  e.  TopBases )
42, 3ax-mp 8 . . 3  |-  { (/) ,  { { (/) } } }  e.  TopBases
5 snex 4407 . . . . . 6  |-  { { (/)
} }  e.  _V
65prid2 3915 . . . . 5  |-  { { (/)
} }  e.  { (/)
,  { { (/) } } }
7 snsn0non 4702 . . . . 5  |-  -.  { { (/) } }  e.  On
8 mth8 141 . . . . 5  |-  ( { { (/) } }  e.  {
(/) ,  { { (/) } } }  ->  ( -.  { { (/) } }  e.  On  ->  -.  ( { { (/) } }  e.  {
(/) ,  { { (/) } } }  ->  { { (/)
} }  e.  On ) ) )
96, 7, 8mp2 9 . . . 4  |-  -.  ( { { (/) } }  e.  {
(/) ,  { { (/) } } }  ->  { { (/)
} }  e.  On )
10 onelon 4608 . . . . 5  |-  ( ( { (/) ,  { { (/)
} } }  e.  On  /\  { { (/) } }  e.  { (/) ,  { { (/) } } } )  ->  { { (/)
} }  e.  On )
1110ex 425 . . . 4  |-  ( {
(/) ,  { { (/) } } }  e.  On  ->  ( { { (/) } }  e.  { (/) ,  { { (/) } } }  ->  { { (/) } }  e.  On ) )
129, 11mto 170 . . 3  |-  -.  { (/)
,  { { (/) } } }  e.  On
134, 12pm3.2i 443 . 2  |-  ( {
(/) ,  { { (/) } } }  e.  TopBases  /\  -.  { (/) ,  { { (/)
} } }  e.  On )
14 ssnelpss 3693 . 2  |-  ( On  C_ 
TopBases  ->  ( ( {
(/) ,  { { (/) } } }  e.  TopBases  /\  -.  { (/) ,  { { (/)
} } }  e.  On )  ->  On  C.  TopBases ) )
151, 13, 14mp2 9 1  |-  On  C.  TopBases
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 360    e. wcel 1726    C_ wss 3322    C. wpss 3323   (/)c0 3630   {csn 3816   {cpr 3817   Oncon0 4583   Topctop 16960   TopBasesctb 16964
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fv 5464  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968
  Copyright terms: Public domain W3C validator