MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  onssmin Structured version   Unicode version

Theorem onssmin 4780
Description: A non-empty class of ordinal numbers has the smallest member. Exercise 9 of [TakeutiZaring] p. 40. (Contributed by NM, 3-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
onssmin  |-  ( ( A  C_  On  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  x  C_  y
)
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem onssmin
StepHypRef Expression
1 onint 4778 . 2  |-  ( ( A  C_  On  /\  A  =/=  (/) )  ->  |^| A  e.  A )
2 intss1 4067 . . 3  |-  ( y  e.  A  ->  |^| A  C_  y )
32rgen 2773 . 2  |-  A. y  e.  A  |^| A  C_  y
4 sseq1 3371 . . . 4  |-  ( x  =  |^| A  -> 
( x  C_  y  <->  |^| A  C_  y )
)
54ralbidv 2727 . . 3  |-  ( x  =  |^| A  -> 
( A. y  e.  A  x  C_  y  <->  A. y  e.  A  |^| A  C_  y ) )
65rspcev 3054 . 2  |-  ( (
|^| A  e.  A  /\  A. y  e.  A  |^| A  C_  y )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  x  C_  y )
71, 3, 6sylancl 645 1  |-  ( ( A  C_  On  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  x  C_  y
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708    C_ wss 3322   (/)c0 3630   |^|cint 4052   Oncon0 4584
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-br 4216  df-opab 4270  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588
  Copyright terms: Public domain W3C validator