MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  onssmin Unicode version

Theorem onssmin 4736
Description: A non-empty class of ordinal numbers has the smallest member. Exercise 9 of [TakeutiZaring] p. 40. (Contributed by NM, 3-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
onssmin  |-  ( ( A  C_  On  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  x  C_  y
)
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem onssmin
StepHypRef Expression
1 onint 4734 . 2  |-  ( ( A  C_  On  /\  A  =/=  (/) )  ->  |^| A  e.  A )
2 intss1 4025 . . 3  |-  ( y  e.  A  ->  |^| A  C_  y )
32rgen 2731 . 2  |-  A. y  e.  A  |^| A  C_  y
4 sseq1 3329 . . . 4  |-  ( x  =  |^| A  -> 
( x  C_  y  <->  |^| A  C_  y )
)
54ralbidv 2686 . . 3  |-  ( x  =  |^| A  -> 
( A. y  e.  A  x  C_  y  <->  A. y  e.  A  |^| A  C_  y ) )
65rspcev 3012 . 2  |-  ( (
|^| A  e.  A  /\  A. y  e.  A  |^| A  C_  y )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  x  C_  y )
71, 3, 6sylancl 644 1  |-  ( ( A  C_  On  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  x  C_  y
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667    C_ wss 3280   (/)c0 3588   |^|cint 4010   Oncon0 4541
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-br 4173  df-opab 4227  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545
  Copyright terms: Public domain W3C validator