Theorem onssmin 3008

Description: A non-empty class of ordinal numbers has a smallest member. Exercise 9 of [TakeutiZaring] p. 40.

Assertion

Ref	Expression
onssmin	|- ((A (_ On /\ A =/= (/)) -> E.x e. A A.y e. A x (_ y)

Distinct variable group:   x,y,A

Proof of Theorem onssmin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onint 3006	. . 3 |- ((A (_ On /\ A =/= (/)) -> |^|A e. A)
2		intss1 2548	. . . 4 |- (y e. A -> |^|A (_ y)
3	2	rgen 1698	. . 3 |- A.y e. A |^|A (_ y
4	1, 3	jctir 293	. 2 |- ((A (_ On /\ A =/= (/)) -> (|^|A e. A /\ A.y e. A |^|A (_ y))
5		sseq1 2082	. . . 4 |- (x = |^|A -> (x (_ y <-> |^|A (_ y))
6	5	ralbidv 1663	. . 3 |- (x = |^|A -> (A.y e. A x (_ y <-> A.y e. A |^|A (_ y))
7	6	rcla4ev 1877	. 2 |- ((|^|A e. A /\ A.y e. A |^|A (_ y) -> E.x e. A A.y e. A x (_ y)
8	4, 7	syl 10	1 |- ((A (_ On /\ A =/= (/)) -> E.x e. A A.y e. A x (_ y)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958   =/= wne 1585  A.wral 1645  E.wrex 1646   (_ wss 2047  (/)c0 2280  |^|cint 2533  Oncon0 2948

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952

Copyright terms: Public domain