MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  onssnum Structured version   Unicode version

Theorem onssnum 7913
Description: All subsets of the ordinals are numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
onssnum  |-  ( ( A  e.  V  /\  A  C_  On )  ->  A  e.  dom  card )

Proof of Theorem onssnum
StepHypRef Expression
1 uniexg 4698 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  U. A  e.  _V )
2 ssorduni 4758 . . . 4  |-  ( A 
C_  On  ->  Ord  U. A )
3 elong 4581 . . . . 5  |-  ( U. A  e.  _V  ->  ( U. A  e.  On  <->  Ord  U. A ) )
43biimpar 472 . . . 4  |-  ( ( U. A  e.  _V  /\ 
Ord  U. A )  ->  U. A  e.  On )
51, 2, 4syl2an 464 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  A  C_  On )  ->  U. A  e.  On )
6 suceloni 4785 . . 3  |-  ( U. A  e.  On  ->  suc  U. A  e.  On )
7 onenon 7828 . . 3  |-  ( suc  U. A  e.  On  ->  suc  U. A  e. 
dom  card )
85, 6, 73syl 19 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  A  C_  On )  ->  suc  U. A  e.  dom  card )
9 onsucuni 4800 . . 3  |-  ( A 
C_  On  ->  A  C_  suc  U. A )
109adantl 453 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  A  C_  On )  ->  A  C_  suc  U. A
)
11 ssnum 7912 . 2  |-  ( ( suc  U. A  e. 
dom  card  /\  A  C_  suc  U. A )  ->  A  e.  dom  card )
128, 10, 11syl2anc 643 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  A  C_  On )  ->  A  e.  dom  card )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1725   _Vcvv 2948    C_ wss 3312   U.cuni 4007   Ord word 4572   Oncon0 4573   suc csuc 4575   dom cdm 4870   cardccrd 7814
This theorem is referenced by:  dfac12lem3  8017  cfeq0  8128  cfsuc  8129  cff1  8130  cfflb  8131  cflim2  8135  cfss  8137  cfslb  8138
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-suc 4579  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-riota 6541  df-recs 6625  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-card 7818
  Copyright terms: Public domain W3C validator