MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  onssnum Unicode version

Theorem onssnum 7854
Description: All subsets of the ordinals are numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
onssnum  |-  ( ( A  e.  V  /\  A  C_  On )  ->  A  e.  dom  card )

Proof of Theorem onssnum
StepHypRef Expression
1 uniexg 4646 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  U. A  e.  _V )
2 ssorduni 4706 . . . 4  |-  ( A 
C_  On  ->  Ord  U. A )
3 elong 4530 . . . . 5  |-  ( U. A  e.  _V  ->  ( U. A  e.  On  <->  Ord  U. A ) )
43biimpar 472 . . . 4  |-  ( ( U. A  e.  _V  /\ 
Ord  U. A )  ->  U. A  e.  On )
51, 2, 4syl2an 464 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  A  C_  On )  ->  U. A  e.  On )
6 suceloni 4733 . . 3  |-  ( U. A  e.  On  ->  suc  U. A  e.  On )
7 onenon 7769 . . 3  |-  ( suc  U. A  e.  On  ->  suc  U. A  e. 
dom  card )
85, 6, 73syl 19 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  A  C_  On )  ->  suc  U. A  e.  dom  card )
9 onsucuni 4748 . . 3  |-  ( A 
C_  On  ->  A  C_  suc  U. A )
109adantl 453 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  A  C_  On )  ->  A  C_  suc  U. A
)
11 ssnum 7853 . 2  |-  ( ( suc  U. A  e. 
dom  card  /\  A  C_  suc  U. A )  ->  A  e.  dom  card )
128, 10, 11syl2anc 643 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  A  C_  On )  ->  A  e.  dom  card )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1717   _Vcvv 2899    C_ wss 3263   U.cuni 3957   Ord word 4521   Oncon0 4522   suc csuc 4524   dom cdm 4818   cardccrd 7755
This theorem is referenced by:  dfac12lem3  7958  cfeq0  8069  cfsuc  8070  cff1  8071  cfflb  8072  cflim2  8076  cfss  8078  cfslb  8079
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-se 4483  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-suc 4528  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-isom 5403  df-riota 6485  df-recs 6569  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-card 7759
  Copyright terms: Public domain W3C validator