Users' Mathboxes Mathbox for Chen-Pang He < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  onsuccon Unicode version

Theorem onsuccon 25895
Description: A successor ordinal number is a connected topology. (Contributed by Chen-Pang He, 16-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
onsuccon  |-  ( A  e.  On  ->  suc  A  e.  Con )

Proof of Theorem onsuccon
StepHypRef Expression
1 suceq 4580 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  On ,  A ,  (/) )  ->  suc  A  =  suc  if ( A  e.  On ,  A ,  (/) ) )
21eleq1d 2446 . 2  |-  ( A  =  if ( A  e.  On ,  A ,  (/) )  ->  ( suc  A  e.  Con  <->  suc  if ( A  e.  On ,  A ,  (/) )  e. 
Con ) )
3 0elon 4568 . . . 4  |-  (/)  e.  On
43elimel 3727 . . 3  |-  if ( A  e.  On ,  A ,  (/) )  e.  On
54onsucconi 25894 . 2  |-  suc  if ( A  e.  On ,  A ,  (/) )  e. 
Con
62, 5dedth 3716 1  |-  ( A  e.  On  ->  suc  A  e.  Con )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717   (/)c0 3564   ifcif 3675   Oncon0 4515   suc csuc 4517   Conccon 17388
This theorem is referenced by:  ordtopcon  25896
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-ral 2647  df-rex 2648  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-suc 4521  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-fv 5395  df-topgen 13587  df-top 16879  df-bases 16881  df-cld 16999  df-con 17389
  Copyright terms: Public domain W3C validator