Users' Mathboxes Mathbox for Chen-Pang He < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  onsuccon Structured version   Unicode version

Theorem onsuccon 26181
Description: A successor ordinal number is a connected topology. (Contributed by Chen-Pang He, 16-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
onsuccon  |-  ( A  e.  On  ->  suc  A  e.  Con )

Proof of Theorem onsuccon
StepHypRef Expression
1 suceq 4639 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  On ,  A ,  (/) )  ->  suc  A  =  suc  if ( A  e.  On ,  A ,  (/) ) )
21eleq1d 2502 . 2  |-  ( A  =  if ( A  e.  On ,  A ,  (/) )  ->  ( suc  A  e.  Con  <->  suc  if ( A  e.  On ,  A ,  (/) )  e. 
Con ) )
3 0elon 4627 . . . 4  |-  (/)  e.  On
43elimel 3784 . . 3  |-  if ( A  e.  On ,  A ,  (/) )  e.  On
54onsucconi 26180 . 2  |-  suc  if ( A  e.  On ,  A ,  (/) )  e. 
Con
62, 5dedth 3773 1  |-  ( A  e.  On  ->  suc  A  e.  Con )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725   (/)c0 3621   ifcif 3732   Oncon0 4574   suc csuc 4576   Conccon 17467
This theorem is referenced by:  ordtopcon  26182
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2703  df-rex 2704  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-pss 3329  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-tp 3815  df-op 3816  df-uni 4009  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-tr 4296  df-eprel 4487  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-fr 4534  df-we 4536  df-ord 4577  df-on 4578  df-suc 4580  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-fv 5455  df-topgen 13660  df-top 16956  df-bases 16958  df-cld 17076  df-con 17468
  Copyright terms: Public domain W3C validator