Users' Mathboxes Mathbox for Chen-Pang He < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  onsucsuccmp Unicode version

Theorem onsucsuccmp 24883
Description: The successor of a successor ordinal number is a compact topology. (Contributed by Chen-Pang He, 18-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
onsucsuccmp  |-  ( A  e.  On  ->  suc  suc 
A  e.  Comp )

Proof of Theorem onsucsuccmp
StepHypRef Expression
1 suceq 4457 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  e.  On ,  A ,  (/) )  ->  suc  A  =  suc  if ( A  e.  On ,  A ,  (/) ) )
2 suceq 4457 . . . 4  |-  ( suc 
A  =  suc  if ( A  e.  On ,  A ,  (/) )  ->  suc  suc  A  =  suc  suc 
if ( A  e.  On ,  A ,  (/) ) )
31, 2syl 15 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  On ,  A ,  (/) )  ->  suc  suc 
A  =  suc  suc  if ( A  e.  On ,  A ,  (/) ) )
43eleq1d 2349 . 2  |-  ( A  =  if ( A  e.  On ,  A ,  (/) )  ->  ( suc  suc  A  e.  Comp  <->  suc  suc 
if ( A  e.  On ,  A ,  (/) )  e.  Comp )
)
5 0elon 4445 . . . 4  |-  (/)  e.  On
65elimel 3617 . . 3  |-  if ( A  e.  On ,  A ,  (/) )  e.  On
76onsucsuccmpi 24882 . 2  |-  suc  suc  if ( A  e.  On ,  A ,  (/) )  e. 
Comp
84, 7dedth 3606 1  |-  ( A  e.  On  ->  suc  suc 
A  e.  Comp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684   (/)c0 3455   ifcif 3565   Oncon0 4392   suc csuc 4394   Compccmp 17113
This theorem is referenced by:  ordcmp  24886
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-1o 6479  df-en 6864  df-fin 6867  df-topgen 13344  df-top 16636  df-bases 16638  df-cmp 17114
  Copyright terms: Public domain W3C validator