Mathbox for Chen-Pang He < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  onsucsuccmpi Unicode version

Theorem onsucsuccmpi 25624
 Description: The successor of a successor ordinal number is a compact topology, proven without the Axiom of Regularity. (Contributed by Chen-Pang He, 18-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
onsucsuccmpi.1
Assertion
Ref Expression
onsucsuccmpi

Proof of Theorem onsucsuccmpi
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 onsucsuccmpi.1 . . . 4
21onsuci 4732 . . 3
3 onsuctop 25614 . . 3
42, 3ax-mp 8 . 2
51onirri 4602 . . . . . . 7
61, 1onsucssi 4735 . . . . . . 7
75, 6mtbi 289 . . . . . 6
8 sseq1 3285 . . . . . 6
97, 8mtbii 293 . . . . 5
10 elpwi 3722 . . . . . . 7
11 uniss 3950 . . . . . . 7
1210, 11syl 15 . . . . . 6
131onunisuci 4609 . . . . . 6
1412, 13syl6sseq 3310 . . . . 5
159, 14nsyl 113 . . . 4
16 eldif 3248 . . . . . . 7
17 elpwunsn 4671 . . . . . . 7
1816, 17sylbir 204 . . . . . 6
1918ex 423 . . . . 5
20 df-suc 4501 . . . . . 6
2120pweqi 3718 . . . . 5
2219, 21eleq2s 2458 . . . 4
23 snelpwi 4322 . . . . 5
24 snfi 7084 . . . . . . . 8
2524jctr 526 . . . . . . 7
26 elin 3446 . . . . . . 7
2725, 26sylibr 203 . . . . . 6
282elexi 2882 . . . . . . . 8
2928unisn 3945 . . . . . . 7
3029eqcomi 2370 . . . . . 6
31 unieq 3938 . . . . . . . 8
3231eqeq2d 2377 . . . . . . 7
3332rspcev 2969 . . . . . 6
3427, 30, 33sylancl 643 . . . . 5
3523, 34syl 15 . . . 4
3615, 22, 35syl56 30 . . 3
3736rgen 2693 . 2
382onunisuci 4609 . . . 4
3938eqcomi 2370 . . 3
4039iscmp 17332 . 2
414, 37, 40mpbir2an 886 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 358   wceq 1647   wcel 1715  wral 2628  wrex 2629   cdif 3235   cun 3236   cin 3237   wss 3238  cpw 3714  csn 3729  cuni 3929  con0 4495   csuc 4497  cfn 7006  ctop 16848  ccmp 17330 This theorem is referenced by:  onsucsuccmp  25625 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-ral 2633  df-rex 2634  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-1o 6621  df-en 7007  df-fin 7010  df-topgen 13554  df-top 16853  df-bases 16855  df-cmp 17331
 Copyright terms: Public domain W3C validator