Users' Mathboxes Mathbox for Chen-Pang He < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  onsucsuccmpi Unicode version

Theorem onsucsuccmpi 25624
Description: The successor of a successor ordinal number is a compact topology, proven without the Axiom of Regularity. (Contributed by Chen-Pang He, 18-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
onsucsuccmpi.1  |-  A  e.  On
Assertion
Ref Expression
onsucsuccmpi  |-  suc  suc  A  e.  Comp

Proof of Theorem onsucsuccmpi
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 onsucsuccmpi.1 . . . 4  |-  A  e.  On
21onsuci 4732 . . 3  |-  suc  A  e.  On
3 onsuctop 25614 . . 3  |-  ( suc 
A  e.  On  ->  suc 
suc  A  e.  Top )
42, 3ax-mp 8 . 2  |-  suc  suc  A  e.  Top
51onirri 4602 . . . . . . 7  |-  -.  A  e.  A
61, 1onsucssi 4735 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  A  <->  suc  A  C_  A )
75, 6mtbi 289 . . . . . 6  |-  -.  suc  A 
C_  A
8 sseq1 3285 . . . . . 6  |-  ( suc 
A  =  U. y  ->  ( suc  A  C_  A 
<-> 
U. y  C_  A
) )
97, 8mtbii 293 . . . . 5  |-  ( suc 
A  =  U. y  ->  -.  U. y  C_  A )
10 elpwi 3722 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ~P suc  A  ->  y  C_  suc  A )
11 uniss 3950 . . . . . . 7  |-  ( y 
C_  suc  A  ->  U. y  C_  U. suc  A
)
1210, 11syl 15 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ~P suc  A  ->  U. y  C_  U. suc  A )
131onunisuci 4609 . . . . . 6  |-  U. suc  A  =  A
1412, 13syl6sseq 3310 . . . . 5  |-  ( y  e.  ~P suc  A  ->  U. y  C_  A
)
159, 14nsyl 113 . . . 4  |-  ( suc 
A  =  U. y  ->  -.  y  e.  ~P suc  A )
16 eldif 3248 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ~P ( suc  A  u.  { suc  A } )  \  ~P suc  A )  <->  ( y  e.  ~P ( suc  A  u.  { suc  A }
)  /\  -.  y  e.  ~P suc  A ) )
17 elpwunsn 4671 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ~P ( suc  A  u.  { suc  A } )  \  ~P suc  A )  ->  suc  A  e.  y )
1816, 17sylbir 204 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ~P ( suc  A  u.  { suc  A } )  /\  -.  y  e.  ~P suc  A )  ->  suc  A  e.  y )
1918ex 423 . . . . 5  |-  ( y  e.  ~P ( suc 
A  u.  { suc  A } )  ->  ( -.  y  e.  ~P suc  A  ->  suc  A  e.  y ) )
20 df-suc 4501 . . . . . 6  |-  suc  suc  A  =  ( suc  A  u.  { suc  A }
)
2120pweqi 3718 . . . . 5  |-  ~P suc  suc 
A  =  ~P ( suc  A  u.  { suc  A } )
2219, 21eleq2s 2458 . . . 4  |-  ( y  e.  ~P suc  suc  A  ->  ( -.  y  e.  ~P suc  A  ->  suc  A  e.  y ) )
23 snelpwi 4322 . . . . 5  |-  ( suc 
A  e.  y  ->  { suc  A }  e.  ~P y )
24 snfi 7084 . . . . . . . 8  |-  { suc  A }  e.  Fin
2524jctr 526 . . . . . . 7  |-  ( { suc  A }  e.  ~P y  ->  ( { suc  A }  e.  ~P y  /\  { suc  A }  e.  Fin )
)
26 elin 3446 . . . . . . 7  |-  ( { suc  A }  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) 
<->  ( { suc  A }  e.  ~P y  /\  { suc  A }  e.  Fin ) )
2725, 26sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( { suc  A }  e.  ~P y  ->  { suc  A }  e.  ( ~P y  i^i  Fin )
)
282elexi 2882 . . . . . . . 8  |-  suc  A  e.  _V
2928unisn 3945 . . . . . . 7  |-  U. { suc  A }  =  suc  A
3029eqcomi 2370 . . . . . 6  |-  suc  A  =  U. { suc  A }
31 unieq 3938 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  { suc  A }  ->  U. z  =  U. { suc  A } )
3231eqeq2d 2377 . . . . . . 7  |-  ( z  =  { suc  A }  ->  ( suc  A  =  U. z  <->  suc  A  = 
U. { suc  A } ) )
3332rspcev 2969 . . . . . 6  |-  ( ( { suc  A }  e.  ( ~P y  i^i 
Fin )  /\  suc  A  =  U. { suc  A } )  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) suc  A  =  U. z )
3427, 30, 33sylancl 643 . . . . 5  |-  ( { suc  A }  e.  ~P y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) suc  A  =  U. z )
3523, 34syl 15 . . . 4  |-  ( suc 
A  e.  y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) suc  A  =  U. z
)
3615, 22, 35syl56 30 . . 3  |-  ( y  e.  ~P suc  suc  A  ->  ( suc  A  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) suc  A  =  U. z ) )
3736rgen 2693 . 2  |-  A. y  e.  ~P  suc  suc  A
( suc  A  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) suc  A  =  U. z )
382onunisuci 4609 . . . 4  |-  U. suc  suc 
A  =  suc  A
3938eqcomi 2370 . . 3  |-  suc  A  =  U. suc  suc  A
4039iscmp 17332 . 2  |-  ( suc 
suc  A  e.  Comp  <->  ( suc  suc  A  e.  Top  /\ 
A. y  e.  ~P  suc  suc  A ( suc 
A  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) suc  A  =  U. z ) ) )
414, 37, 40mpbir2an 886 1  |-  suc  suc  A  e.  Comp
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1647    e. wcel 1715   A.wral 2628   E.wrex 2629    \ cdif 3235    u. cun 3236    i^i cin 3237    C_ wss 3238   ~Pcpw 3714   {csn 3729   U.cuni 3929   Oncon0 4495   suc csuc 4497   Fincfn 7006   Topctop 16848   Compccmp 17330
This theorem is referenced by:  onsucsuccmp  25625
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-ral 2633  df-rex 2634  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-1o 6621  df-en 7007  df-fin 7010  df-topgen 13554  df-top 16853  df-bases 16855  df-cmp 17331
  Copyright terms: Public domain W3C validator