Users' Mathboxes Mathbox for Chen-Pang He < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  onsucsuccmpi Unicode version

Theorem onsucsuccmpi 26097
Description: The successor of a successor ordinal number is a compact topology, proven without the Axiom of Regularity. (Contributed by Chen-Pang He, 18-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
onsucsuccmpi.1  |-  A  e.  On
Assertion
Ref Expression
onsucsuccmpi  |-  suc  suc  A  e.  Comp

Proof of Theorem onsucsuccmpi
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 onsucsuccmpi.1 . . . 4  |-  A  e.  On
21onsuci 4777 . . 3  |-  suc  A  e.  On
3 onsuctop 26087 . . 3  |-  ( suc 
A  e.  On  ->  suc 
suc  A  e.  Top )
42, 3ax-mp 8 . 2  |-  suc  suc  A  e.  Top
51onirri 4647 . . . . . . 7  |-  -.  A  e.  A
61, 1onsucssi 4780 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  A  <->  suc  A  C_  A )
75, 6mtbi 290 . . . . . 6  |-  -.  suc  A 
C_  A
8 sseq1 3329 . . . . . 6  |-  ( suc 
A  =  U. y  ->  ( suc  A  C_  A 
<-> 
U. y  C_  A
) )
97, 8mtbii 294 . . . . 5  |-  ( suc 
A  =  U. y  ->  -.  U. y  C_  A )
10 elpwi 3767 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ~P suc  A  ->  y  C_  suc  A )
1110unissd 3999 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ~P suc  A  ->  U. y  C_  U. suc  A )
121onunisuci 4654 . . . . . 6  |-  U. suc  A  =  A
1311, 12syl6sseq 3354 . . . . 5  |-  ( y  e.  ~P suc  A  ->  U. y  C_  A
)
149, 13nsyl 115 . . . 4  |-  ( suc 
A  =  U. y  ->  -.  y  e.  ~P suc  A )
15 eldif 3290 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ~P ( suc  A  u.  { suc  A } )  \  ~P suc  A )  <->  ( y  e.  ~P ( suc  A  u.  { suc  A }
)  /\  -.  y  e.  ~P suc  A ) )
16 elpwunsn 4716 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ~P ( suc  A  u.  { suc  A } )  \  ~P suc  A )  ->  suc  A  e.  y )
1715, 16sylbir 205 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ~P ( suc  A  u.  { suc  A } )  /\  -.  y  e.  ~P suc  A )  ->  suc  A  e.  y )
1817ex 424 . . . . 5  |-  ( y  e.  ~P ( suc 
A  u.  { suc  A } )  ->  ( -.  y  e.  ~P suc  A  ->  suc  A  e.  y ) )
19 df-suc 4547 . . . . . 6  |-  suc  suc  A  =  ( suc  A  u.  { suc  A }
)
2019pweqi 3763 . . . . 5  |-  ~P suc  suc 
A  =  ~P ( suc  A  u.  { suc  A } )
2118, 20eleq2s 2496 . . . 4  |-  ( y  e.  ~P suc  suc  A  ->  ( -.  y  e.  ~P suc  A  ->  suc  A  e.  y ) )
22 snelpwi 4369 . . . . 5  |-  ( suc 
A  e.  y  ->  { suc  A }  e.  ~P y )
23 snfi 7146 . . . . . . . 8  |-  { suc  A }  e.  Fin
2423jctr 527 . . . . . . 7  |-  ( { suc  A }  e.  ~P y  ->  ( { suc  A }  e.  ~P y  /\  { suc  A }  e.  Fin )
)
25 elin 3490 . . . . . . 7  |-  ( { suc  A }  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) 
<->  ( { suc  A }  e.  ~P y  /\  { suc  A }  e.  Fin ) )
2624, 25sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( { suc  A }  e.  ~P y  ->  { suc  A }  e.  ( ~P y  i^i  Fin )
)
272elexi 2925 . . . . . . . 8  |-  suc  A  e.  _V
2827unisn 3991 . . . . . . 7  |-  U. { suc  A }  =  suc  A
2928eqcomi 2408 . . . . . 6  |-  suc  A  =  U. { suc  A }
30 unieq 3984 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  { suc  A }  ->  U. z  =  U. { suc  A } )
3130eqeq2d 2415 . . . . . . 7  |-  ( z  =  { suc  A }  ->  ( suc  A  =  U. z  <->  suc  A  = 
U. { suc  A } ) )
3231rspcev 3012 . . . . . 6  |-  ( ( { suc  A }  e.  ( ~P y  i^i 
Fin )  /\  suc  A  =  U. { suc  A } )  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) suc  A  =  U. z )
3326, 29, 32sylancl 644 . . . . 5  |-  ( { suc  A }  e.  ~P y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) suc  A  =  U. z )
3422, 33syl 16 . . . 4  |-  ( suc 
A  e.  y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) suc  A  =  U. z
)
3514, 21, 34syl56 32 . . 3  |-  ( y  e.  ~P suc  suc  A  ->  ( suc  A  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) suc  A  =  U. z ) )
3635rgen 2731 . 2  |-  A. y  e.  ~P  suc  suc  A
( suc  A  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) suc  A  =  U. z )
372onunisuci 4654 . . . 4  |-  U. suc  suc 
A  =  suc  A
3837eqcomi 2408 . . 3  |-  suc  A  =  U. suc  suc  A
3938iscmp 17405 . 2  |-  ( suc 
suc  A  e.  Comp  <->  ( suc  suc  A  e.  Top  /\ 
A. y  e.  ~P  suc  suc  A ( suc 
A  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) suc  A  =  U. z ) ) )
404, 36, 39mpbir2an 887 1  |-  suc  suc  A  e.  Comp
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667    \ cdif 3277    u. cun 3278    i^i cin 3279    C_ wss 3280   ~Pcpw 3759   {csn 3774   U.cuni 3975   Oncon0 4541   suc csuc 4543   Fincfn 7068   Topctop 16913   Compccmp 17403
This theorem is referenced by:  onsucsuccmp  26098
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-1o 6683  df-en 7069  df-fin 7072  df-topgen 13622  df-top 16918  df-bases 16920  df-cmp 17404
  Copyright terms: Public domain W3C validator