Users' Mathboxes Mathbox for Chen-Pang He < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  onsucsuccmpi Unicode version

Theorem onsucsuccmpi 24882
Description: The successor of a successor ordinal number is a compact topology, proven without the Axiom of Regularity. (Contributed by Chen-Pang He, 18-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
onsucsuccmpi.1  |-  A  e.  On
Assertion
Ref Expression
onsucsuccmpi  |-  suc  suc  A  e.  Comp

Proof of Theorem onsucsuccmpi
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 onsucsuccmpi.1 . . . 4  |-  A  e.  On
21onsuci 4629 . . 3  |-  suc  A  e.  On
3 onsuctop 24872 . . 3  |-  ( suc 
A  e.  On  ->  suc 
suc  A  e.  Top )
42, 3ax-mp 8 . 2  |-  suc  suc  A  e.  Top
51onirri 4499 . . . . . . 7  |-  -.  A  e.  A
61, 1onsucssi 4632 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  A  <->  suc  A  C_  A )
75, 6mtbi 289 . . . . . 6  |-  -.  suc  A 
C_  A
8 sseq1 3199 . . . . . 6  |-  ( suc 
A  =  U. y  ->  ( suc  A  C_  A 
<-> 
U. y  C_  A
) )
97, 8mtbii 293 . . . . 5  |-  ( suc 
A  =  U. y  ->  -.  U. y  C_  A )
10 elpwi 3633 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ~P suc  A  ->  y  C_  suc  A )
11 uniss 3848 . . . . . . 7  |-  ( y 
C_  suc  A  ->  U. y  C_  U. suc  A
)
1210, 11syl 15 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ~P suc  A  ->  U. y  C_  U. suc  A )
131onunisuci 4506 . . . . . 6  |-  U. suc  A  =  A
1412, 13syl6sseq 3224 . . . . 5  |-  ( y  e.  ~P suc  A  ->  U. y  C_  A
)
159, 14nsyl 113 . . . 4  |-  ( suc 
A  =  U. y  ->  -.  y  e.  ~P suc  A )
16 eldif 3162 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ~P ( suc  A  u.  { suc  A } )  \  ~P suc  A )  <->  ( y  e.  ~P ( suc  A  u.  { suc  A }
)  /\  -.  y  e.  ~P suc  A ) )
17 elpwunsn 4568 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ~P ( suc  A  u.  { suc  A } )  \  ~P suc  A )  ->  suc  A  e.  y )
1816, 17sylbir 204 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ~P ( suc  A  u.  { suc  A } )  /\  -.  y  e.  ~P suc  A )  ->  suc  A  e.  y )
1918ex 423 . . . . 5  |-  ( y  e.  ~P ( suc 
A  u.  { suc  A } )  ->  ( -.  y  e.  ~P suc  A  ->  suc  A  e.  y ) )
20 df-suc 4398 . . . . . 6  |-  suc  suc  A  =  ( suc  A  u.  { suc  A }
)
2120pweqi 3629 . . . . 5  |-  ~P suc  suc 
A  =  ~P ( suc  A  u.  { suc  A } )
2219, 21eleq2s 2375 . . . 4  |-  ( y  e.  ~P suc  suc  A  ->  ( -.  y  e.  ~P suc  A  ->  suc  A  e.  y ) )
23 snelpwi 4220 . . . . 5  |-  ( suc 
A  e.  y  ->  { suc  A }  e.  ~P y )
24 snfi 6941 . . . . . . . 8  |-  { suc  A }  e.  Fin
2524jctr 526 . . . . . . 7  |-  ( { suc  A }  e.  ~P y  ->  ( { suc  A }  e.  ~P y  /\  { suc  A }  e.  Fin )
)
26 elin 3358 . . . . . . 7  |-  ( { suc  A }  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) 
<->  ( { suc  A }  e.  ~P y  /\  { suc  A }  e.  Fin ) )
2725, 26sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( { suc  A }  e.  ~P y  ->  { suc  A }  e.  ( ~P y  i^i  Fin )
)
282elexi 2797 . . . . . . . 8  |-  suc  A  e.  _V
2928unisn 3843 . . . . . . 7  |-  U. { suc  A }  =  suc  A
3029eqcomi 2287 . . . . . 6  |-  suc  A  =  U. { suc  A }
31 unieq 3836 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  { suc  A }  ->  U. z  =  U. { suc  A } )
3231eqeq2d 2294 . . . . . . 7  |-  ( z  =  { suc  A }  ->  ( suc  A  =  U. z  <->  suc  A  = 
U. { suc  A } ) )
3332rspcev 2884 . . . . . 6  |-  ( ( { suc  A }  e.  ( ~P y  i^i 
Fin )  /\  suc  A  =  U. { suc  A } )  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) suc  A  =  U. z )
3427, 30, 33sylancl 643 . . . . 5  |-  ( { suc  A }  e.  ~P y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) suc  A  =  U. z )
3523, 34syl 15 . . . 4  |-  ( suc 
A  e.  y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) suc  A  =  U. z
)
3615, 22, 35syl56 30 . . 3  |-  ( y  e.  ~P suc  suc  A  ->  ( suc  A  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) suc  A  =  U. z ) )
3736rgen 2608 . 2  |-  A. y  e.  ~P  suc  suc  A
( suc  A  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) suc  A  =  U. z )
382onunisuci 4506 . . . 4  |-  U. suc  suc 
A  =  suc  A
3938eqcomi 2287 . . 3  |-  suc  A  =  U. suc  suc  A
4039iscmp 17115 . 2  |-  ( suc 
suc  A  e.  Comp  <->  ( suc  suc  A  e.  Top  /\ 
A. y  e.  ~P  suc  suc  A ( suc 
A  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) suc  A  =  U. z ) ) )
414, 37, 40mpbir2an 886 1  |-  suc  suc  A  e.  Comp
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    \ cdif 3149    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   {csn 3640   U.cuni 3827   Oncon0 4392   suc csuc 4394   Fincfn 6863   Topctop 16631   Compccmp 17113
This theorem is referenced by:  onsucsuccmp  24883
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-1o 6479  df-en 6864  df-fin 6867  df-topgen 13344  df-top 16636  df-bases 16638  df-cmp 17114
  Copyright terms: Public domain W3C validator