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Theorem onsuct0 26191
Description: A successor ordinal number is a T0 space. (Contributed by Chen-Pang He, 8-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
onsuct0  |-  ( A  e.  On  ->  suc  A  e.  Kol2 )

Proof of Theorem onsuct0
Dummy variables  o  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eloni 4591 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  Ord  A )
2 df-ral 2710 . . . . . 6  |-  ( A. o  e.  suc  A ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  <->  A. o
( o  e.  suc  A  ->  ( x  e.  o  <->  y  e.  o ) ) )
3 ordelon 4605 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Ord  A  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  On )
4 ordelon 4605 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Ord  A  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  On )
53, 4anim12dan 811 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Ord  A  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( x  e.  On  /\  y  e.  On ) )
6 ordsuc 4794 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Ord 
A  <->  Ord  suc  A )
7 ordelon 4605 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Ord  suc  A  /\  o  e.  suc  A )  ->  o  e.  On )
87ex 424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Ord 
suc  A  ->  ( o  e.  suc  A  -> 
o  e.  On ) )
96, 8sylbi 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Ord 
A  ->  ( o  e.  suc  A  ->  o  e.  On ) )
109adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Ord  A  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( o  e.  suc  A  ->  o  e.  On ) )
11 notbi 287 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  <->  ( -.  x  e.  o  <->  -.  y  e.  o ) )
12 ontri1 4615 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( o  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( o  C_  x  <->  -.  x  e.  o ) )
13 onsssuc 4669 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( o  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( o  C_  x  <->  o  e.  suc  x ) )
1412, 13bitr3d 247 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( o  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( -.  x  e.  o  <->  o  e.  suc  x ) )
1514adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( o  e.  On  /\  ( x  e.  On  /\  y  e.  On ) )  ->  ( -.  x  e.  o  <->  o  e.  suc  x ) )
16 ontri1 4615 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( o  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( o  C_  y  <->  -.  y  e.  o ) )
17 onsssuc 4669 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( o  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( o  C_  y  <->  o  e.  suc  y ) )
1816, 17bitr3d 247 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( o  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( -.  y  e.  o  <->  o  e.  suc  y ) )
1918adantrl 697 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( o  e.  On  /\  ( x  e.  On  /\  y  e.  On ) )  ->  ( -.  y  e.  o  <->  o  e.  suc  y ) )
2015, 19bibi12d 313 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( o  e.  On  /\  ( x  e.  On  /\  y  e.  On ) )  ->  ( ( -.  x  e.  o  <->  -.  y  e.  o )  <-> 
( o  e.  suc  x 
<->  o  e.  suc  y
) ) )
2120ancoms 440 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  o  e.  On )  ->  ( ( -.  x  e.  o  <->  -.  y  e.  o )  <->  ( o  e.  suc  x  <->  o  e.  suc  y ) ) )
2211, 21syl5bb 249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  o  e.  On )  ->  ( ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  <->  ( o  e.  suc  x  <->  o  e.  suc  y ) ) )
2322biimpd 199 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  o  e.  On )  ->  ( ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  (
o  e.  suc  x  <->  o  e.  suc  y ) ) )
245, 10, 23ee12an 1372 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Ord  A  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( o  e.  suc  A  ->  (
( x  e.  o  <-> 
y  e.  o )  ->  ( o  e. 
suc  x  <->  o  e.  suc  y ) ) ) )
2524a2d 24 . . . . . . . 8  |-  ( ( Ord  A  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( (
o  e.  suc  A  ->  ( x  e.  o  <-> 
y  e.  o ) )  ->  ( o  e.  suc  A  ->  (
o  e.  suc  x  <->  o  e.  suc  y ) ) ) )
26 ordelss 4597 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Ord  A  /\  x  e.  A )  ->  x  C_  A )
27 ordelord 4603 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Ord  A  /\  x  e.  A )  ->  Ord  x )
28 ordsucsssuc 4803 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Ord  x  /\  Ord  A )  ->  ( x  C_  A  <->  suc  x  C_  suc  A ) )
2928ancoms 440 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  x )  ->  (
x  C_  A  <->  suc  x  C_  suc  A ) )
3027, 29syldan 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Ord  A  /\  x  e.  A )  ->  (
x  C_  A  <->  suc  x  C_  suc  A ) )
3126, 30mpbid 202 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Ord  A  /\  x  e.  A )  ->  suc  x  C_  suc  A )
3231ssneld 3350 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Ord  A  /\  x  e.  A )  ->  ( -.  o  e.  suc  A  ->  -.  o  e.  suc  x ) )
3332adantrr 698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Ord  A  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( -.  o  e.  suc  A  ->  -.  o  e.  suc  x ) )
34 ordelss 4597 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Ord  A  /\  y  e.  A )  ->  y  C_  A )
35 ordelord 4603 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Ord  A  /\  y  e.  A )  ->  Ord  y )
36 ordsucsssuc 4803 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Ord  y  /\  Ord  A )  ->  ( y  C_  A  <->  suc  y  C_  suc  A ) )
3736ancoms 440 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  y )  ->  (
y  C_  A  <->  suc  y  C_  suc  A ) )
3835, 37syldan 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Ord  A  /\  y  e.  A )  ->  (
y  C_  A  <->  suc  y  C_  suc  A ) )
3934, 38mpbid 202 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Ord  A  /\  y  e.  A )  ->  suc  y  C_  suc  A )
4039ssneld 3350 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Ord  A  /\  y  e.  A )  ->  ( -.  o  e.  suc  A  ->  -.  o  e.  suc  y ) )
4140adantrl 697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Ord  A  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( -.  o  e.  suc  A  ->  -.  o  e.  suc  y ) )
4233, 41jcad 520 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Ord  A  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( -.  o  e.  suc  A  -> 
( -.  o  e. 
suc  x  /\  -.  o  e.  suc  y ) ) )
43 pm5.21 832 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  o  e.  suc  x  /\  -.  o  e. 
suc  y )  -> 
( o  e.  suc  x 
<->  o  e.  suc  y
) )
4442, 43syl6 31 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Ord  A  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( -.  o  e.  suc  A  -> 
( o  e.  suc  x 
<->  o  e.  suc  y
) ) )
45 idd 22 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Ord  A  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( (
o  e.  suc  x  <->  o  e.  suc  y )  ->  ( o  e. 
suc  x  <->  o  e.  suc  y ) ) )
4644, 45jad 156 . . . . . . . 8  |-  ( ( Ord  A  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( (
o  e.  suc  A  ->  ( o  e.  suc  x 
<->  o  e.  suc  y
) )  ->  (
o  e.  suc  x  <->  o  e.  suc  y ) ) )
4725, 46syld 42 . . . . . . 7  |-  ( ( Ord  A  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( (
o  e.  suc  A  ->  ( x  e.  o  <-> 
y  e.  o ) )  ->  ( o  e.  suc  x  <->  o  e.  suc  y ) ) )
4847alimdv 1631 . . . . . 6  |-  ( ( Ord  A  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( A. o ( o  e. 
suc  A  ->  ( x  e.  o  <->  y  e.  o ) )  ->  A. o ( o  e. 
suc  x  <->  o  e.  suc  y ) ) )
492, 48syl5bi 209 . . . . 5  |-  ( ( Ord  A  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( A. o  e.  suc  A ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  A. o
( o  e.  suc  x 
<->  o  e.  suc  y
) ) )
50 dfcleq 2430 . . . . . . 7  |-  ( suc  x  =  suc  y  <->  A. o ( o  e. 
suc  x  <->  o  e.  suc  y ) )
51 suc11 4685 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( suc  x  =  suc  y  <->  x  =  y ) )
5250, 51syl5bbr 251 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A. o ( o  e.  suc  x  <->  o  e.  suc  y )  <-> 
x  =  y ) )
535, 52syl 16 . . . . 5  |-  ( ( Ord  A  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( A. o ( o  e. 
suc  x  <->  o  e.  suc  y )  <->  x  =  y ) )
5449, 53sylibd 206 . . . 4  |-  ( ( Ord  A  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( A. o  e.  suc  A ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) )
5554ralrimivva 2798 . . 3  |-  ( Ord 
A  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( A. o  e.  suc  A ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) )
561, 55syl 16 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( A. o  e.  suc  A ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) )
57 onsuctopon 26184 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  suc  A  e.  (TopOn `  A
) )
58 ist0-2 17408 . . 3  |-  ( suc 
A  e.  (TopOn `  A )  ->  ( suc  A  e.  Kol2  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( A. o  e.  suc  A ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) ) )
5957, 58syl 16 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  ( suc  A  e.  Kol2  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( A. o  e.  suc  A ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) ) )
6056, 59mpbird 224 1  |-  ( A  e.  On  ->  suc  A  e.  Kol2 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1549    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705    C_ wss 3320   Ord word 4580   Oncon0 4581   suc csuc 4583   ` cfv 5454  TopOnctopon 16959   Kol2ct0 17370
This theorem is referenced by:  ordtopt0  26192
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-suc 4587  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fv 5462  df-topgen 13667  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-t0 17377
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