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Theorem onsuct0 24880
Description: A successor ordinal number is a T0 space. (Contributed by Chen-Pang He, 8-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
onsuct0  |-  ( A  e.  On  ->  suc  A  e.  Kol2 )

Proof of Theorem onsuct0
Dummy variables  o  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eloni 4402 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  Ord  A )
2 df-ral 2548 . . . . . 6  |-  ( A. o  e.  suc  A ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  <->  A. o
( o  e.  suc  A  ->  ( x  e.  o  <->  y  e.  o ) ) )
3 ordelon 4416 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Ord  A  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  On )
4 ordelon 4416 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Ord  A  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  On )
53, 4anim12dan 810 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Ord  A  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( x  e.  On  /\  y  e.  On ) )
6 ordsuc 4605 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Ord 
A  <->  Ord  suc  A )
7 ordelon 4416 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Ord  suc  A  /\  o  e.  suc  A )  ->  o  e.  On )
87ex 423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Ord 
suc  A  ->  ( o  e.  suc  A  -> 
o  e.  On ) )
96, 8sylbi 187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Ord 
A  ->  ( o  e.  suc  A  ->  o  e.  On ) )
109adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Ord  A  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( o  e.  suc  A  ->  o  e.  On ) )
11 notbi 286 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  <->  ( -.  x  e.  o  <->  -.  y  e.  o ) )
12 ontri1 4426 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( o  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( o  C_  x  <->  -.  x  e.  o ) )
13 onsssuc 4480 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( o  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( o  C_  x  <->  o  e.  suc  x ) )
1412, 13bitr3d 246 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( o  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( -.  x  e.  o  <->  o  e.  suc  x ) )
1514adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( o  e.  On  /\  ( x  e.  On  /\  y  e.  On ) )  ->  ( -.  x  e.  o  <->  o  e.  suc  x ) )
16 ontri1 4426 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( o  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( o  C_  y  <->  -.  y  e.  o ) )
17 onsssuc 4480 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( o  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( o  C_  y  <->  o  e.  suc  y ) )
1816, 17bitr3d 246 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( o  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( -.  y  e.  o  <->  o  e.  suc  y ) )
1918adantrl 696 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( o  e.  On  /\  ( x  e.  On  /\  y  e.  On ) )  ->  ( -.  y  e.  o  <->  o  e.  suc  y ) )
2015, 19bibi12d 312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( o  e.  On  /\  ( x  e.  On  /\  y  e.  On ) )  ->  ( ( -.  x  e.  o  <->  -.  y  e.  o )  <-> 
( o  e.  suc  x 
<->  o  e.  suc  y
) ) )
2120ancoms 439 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  o  e.  On )  ->  ( ( -.  x  e.  o  <->  -.  y  e.  o )  <->  ( o  e.  suc  x  <->  o  e.  suc  y ) ) )
2211, 21syl5bb 248 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  o  e.  On )  ->  ( ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  <->  ( o  e.  suc  x  <->  o  e.  suc  y ) ) )
2322biimpd 198 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  o  e.  On )  ->  ( ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  (
o  e.  suc  x  <->  o  e.  suc  y ) ) )
245, 10, 23ee12an 1353 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Ord  A  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( o  e.  suc  A  ->  (
( x  e.  o  <-> 
y  e.  o )  ->  ( o  e. 
suc  x  <->  o  e.  suc  y ) ) ) )
2524a2d 23 . . . . . . . 8  |-  ( ( Ord  A  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( (
o  e.  suc  A  ->  ( x  e.  o  <-> 
y  e.  o ) )  ->  ( o  e.  suc  A  ->  (
o  e.  suc  x  <->  o  e.  suc  y ) ) ) )
26 ordelss 4408 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Ord  A  /\  x  e.  A )  ->  x  C_  A )
27 ordelord 4414 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Ord  A  /\  x  e.  A )  ->  Ord  x )
28 ordsucsssuc 4614 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Ord  x  /\  Ord  A )  ->  ( x  C_  A  <->  suc  x  C_  suc  A ) )
2928ancoms 439 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  x )  ->  (
x  C_  A  <->  suc  x  C_  suc  A ) )
3027, 29syldan 456 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Ord  A  /\  x  e.  A )  ->  (
x  C_  A  <->  suc  x  C_  suc  A ) )
3126, 30mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Ord  A  /\  x  e.  A )  ->  suc  x  C_  suc  A )
3231sseld 3179 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Ord  A  /\  x  e.  A )  ->  (
o  e.  suc  x  ->  o  e.  suc  A
) )
3332con3d 125 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Ord  A  /\  x  e.  A )  ->  ( -.  o  e.  suc  A  ->  -.  o  e.  suc  x ) )
3433adantrr 697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Ord  A  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( -.  o  e.  suc  A  ->  -.  o  e.  suc  x ) )
35 ordelss 4408 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Ord  A  /\  y  e.  A )  ->  y  C_  A )
36 ordelord 4414 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Ord  A  /\  y  e.  A )  ->  Ord  y )
37 ordsucsssuc 4614 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Ord  y  /\  Ord  A )  ->  ( y  C_  A  <->  suc  y  C_  suc  A ) )
3837ancoms 439 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  y )  ->  (
y  C_  A  <->  suc  y  C_  suc  A ) )
3936, 38syldan 456 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Ord  A  /\  y  e.  A )  ->  (
y  C_  A  <->  suc  y  C_  suc  A ) )
4035, 39mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Ord  A  /\  y  e.  A )  ->  suc  y  C_  suc  A )
4140sseld 3179 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Ord  A  /\  y  e.  A )  ->  (
o  e.  suc  y  ->  o  e.  suc  A
) )
4241con3d 125 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Ord  A  /\  y  e.  A )  ->  ( -.  o  e.  suc  A  ->  -.  o  e.  suc  y ) )
4342adantrl 696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Ord  A  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( -.  o  e.  suc  A  ->  -.  o  e.  suc  y ) )
4434, 43jcad 519 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Ord  A  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( -.  o  e.  suc  A  -> 
( -.  o  e. 
suc  x  /\  -.  o  e.  suc  y ) ) )
45 pm5.21 831 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  o  e.  suc  x  /\  -.  o  e. 
suc  y )  -> 
( o  e.  suc  x 
<->  o  e.  suc  y
) )
4644, 45syl6 29 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Ord  A  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( -.  o  e.  suc  A  -> 
( o  e.  suc  x 
<->  o  e.  suc  y
) ) )
47 idd 21 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Ord  A  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( (
o  e.  suc  x  <->  o  e.  suc  y )  ->  ( o  e. 
suc  x  <->  o  e.  suc  y ) ) )
4846, 47jad 154 . . . . . . . 8  |-  ( ( Ord  A  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( (
o  e.  suc  A  ->  ( o  e.  suc  x 
<->  o  e.  suc  y
) )  ->  (
o  e.  suc  x  <->  o  e.  suc  y ) ) )
4925, 48syld 40 . . . . . . 7  |-  ( ( Ord  A  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( (
o  e.  suc  A  ->  ( x  e.  o  <-> 
y  e.  o ) )  ->  ( o  e.  suc  x  <->  o  e.  suc  y ) ) )
5049alimdv 1607 . . . . . 6  |-  ( ( Ord  A  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( A. o ( o  e. 
suc  A  ->  ( x  e.  o  <->  y  e.  o ) )  ->  A. o ( o  e. 
suc  x  <->  o  e.  suc  y ) ) )
512, 50syl5bi 208 . . . . 5  |-  ( ( Ord  A  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( A. o  e.  suc  A ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  A. o
( o  e.  suc  x 
<->  o  e.  suc  y
) ) )
52 dfcleq 2277 . . . . . . 7  |-  ( suc  x  =  suc  y  <->  A. o ( o  e. 
suc  x  <->  o  e.  suc  y ) )
53 suc11 4496 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( suc  x  =  suc  y  <->  x  =  y ) )
5452, 53syl5bbr 250 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A. o ( o  e.  suc  x  <->  o  e.  suc  y )  <-> 
x  =  y ) )
555, 54syl 15 . . . . 5  |-  ( ( Ord  A  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( A. o ( o  e. 
suc  x  <->  o  e.  suc  y )  <->  x  =  y ) )
5651, 55sylibd 205 . . . 4  |-  ( ( Ord  A  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( A. o  e.  suc  A ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) )
5756ralrimivva 2635 . . 3  |-  ( Ord 
A  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( A. o  e.  suc  A ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) )
581, 57syl 15 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( A. o  e.  suc  A ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) )
59 onsuctopon 24873 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  suc  A  e.  (TopOn `  A
) )
60 ist0-2 17072 . . 3  |-  ( suc 
A  e.  (TopOn `  A )  ->  ( suc  A  e.  Kol2  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( A. o  e.  suc  A ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) ) )
6159, 60syl 15 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  ( suc  A  e.  Kol2  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( A. o  e.  suc  A ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) ) )
6258, 61mpbird 223 1  |-  ( A  e.  On  ->  suc  A  e.  Kol2 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1527    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543    C_ wss 3152   Ord word 4391   Oncon0 4392   suc csuc 4394   ` cfv 5255  TopOnctopon 16632   Kol2ct0 17034
This theorem is referenced by:  ordtopt0  24881
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-suc 4398  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-topgen 13344  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-t0 17041
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