Users' Mathboxes Mathbox for Chen-Pang He < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  onsuctopon Unicode version

Theorem onsuctopon 25891
Description: One of the topologies on an ordinal number is its successor. (Contributed by Chen-Pang He, 7-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
onsuctopon  |-  ( A  e.  On  ->  suc  A  e.  (TopOn `  A
) )

Proof of Theorem onsuctopon
StepHypRef Expression
1 onsuctop 25890 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  suc  A  e.  Top )
2 eloni 4525 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  Ord  A )
3 ordunisuc 4745 . . . 4  |-  ( Ord 
A  ->  U. suc  A  =  A )
43eqcomd 2385 . . 3  |-  ( Ord 
A  ->  A  =  U. suc  A )
52, 4syl 16 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  A  =  U. suc  A )
6 istopon 16906 . 2  |-  ( suc 
A  e.  (TopOn `  A )  <->  ( suc  A  e.  Top  /\  A  =  U. suc  A ) )
71, 5, 6sylanbrc 646 1  |-  ( A  e.  On  ->  suc  A  e.  (TopOn `  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717   U.cuni 3950   Ord word 4514   Oncon0 4515   suc csuc 4517   ` cfv 5387   Topctop 16874  TopOnctopon 16875
This theorem is referenced by:  onsuct0  25898
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-ral 2647  df-rex 2648  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-suc 4521  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fv 5395  df-topgen 13587  df-top 16879  df-bases 16881  df-topon 16882
  Copyright terms: Public domain W3C validator