Users' Mathboxes Mathbox for Chen-Pang He < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ontgval Unicode version

Theorem ontgval 24942
Description: The topology generated from an ordinal number  B is  suc  U. B. (Contributed by Chen-Pang He, 10-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
ontgval  |-  ( B  e.  On  ->  ( topGen `
 B )  =  suc  U. B )

Proof of Theorem ontgval
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inex1g 4173 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  On  ->  ( B  i^i  ~P x )  e.  _V )
2 onss 4598 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  On  ->  B  C_  On )
3 ssinss1 3410 . . . . . . . 8  |-  ( B 
C_  On  ->  ( B  i^i  ~P x ) 
C_  On )
42, 3syl 15 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  On  ->  ( B  i^i  ~P x ) 
C_  On )
5 ssonuni 4594 . . . . . . 7  |-  ( ( B  i^i  ~P x
)  e.  _V  ->  ( ( B  i^i  ~P x )  C_  On  ->  U. ( B  i^i  ~P x )  e.  On ) )
61, 4, 5sylc 56 . . . . . 6  |-  ( B  e.  On  ->  U. ( B  i^i  ~P x )  e.  On )
7 eltg4i 16714 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( topGen `  B
)  ->  x  =  U. ( B  i^i  ~P x ) )
8 eleq1 2356 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  U. ( B  i^i  ~P x )  ->  ( x  e.  On  <->  U. ( B  i^i  ~P x )  e.  On ) )
98biimprd 214 . . . . . . 7  |-  ( x  =  U. ( B  i^i  ~P x )  ->  ( U. ( B  i^i  ~P x )  e.  On  ->  x  e.  On ) )
107, 9syl 15 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( topGen `  B
)  ->  ( U. ( B  i^i  ~P x
)  e.  On  ->  x  e.  On ) )
116, 10syl5com 26 . . . . 5  |-  ( B  e.  On  ->  (
x  e.  ( topGen `  B )  ->  x  e.  On ) )
12 onuni 4600 . . . . . 6  |-  ( B  e.  On  ->  U. B  e.  On )
13 suceloni 4620 . . . . . 6  |-  ( U. B  e.  On  ->  suc  U. B  e.  On )
1412, 13syl 15 . . . . 5  |-  ( B  e.  On  ->  suc  U. B  e.  On )
1511, 14jctird 528 . . . 4  |-  ( B  e.  On  ->  (
x  e.  ( topGen `  B )  ->  (
x  e.  On  /\  suc  U. B  e.  On ) ) )
16 tg1 16718 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( topGen `  B
)  ->  x  C_  U. B
)
1716a1i 10 . . . . 5  |-  ( B  e.  On  ->  (
x  e.  ( topGen `  B )  ->  x  C_ 
U. B ) )
18 sucidg 4486 . . . . . 6  |-  ( U. B  e.  On  ->  U. B  e.  suc  U. B )
1912, 18syl 15 . . . . 5  |-  ( B  e.  On  ->  U. B  e.  suc  U. B )
2017, 19jctird 528 . . . 4  |-  ( B  e.  On  ->  (
x  e.  ( topGen `  B )  ->  (
x  C_  U. B  /\  U. B  e.  suc  U. B ) ) )
21 ontr2 4455 . . . 4  |-  ( ( x  e.  On  /\  suc  U. B  e.  On )  ->  ( ( x 
C_  U. B  /\  U. B  e.  suc  U. B
)  ->  x  e.  suc  U. B ) )
2215, 20, 21syl6c 60 . . 3  |-  ( B  e.  On  ->  (
x  e.  ( topGen `  B )  ->  x  e.  suc  U. B ) )
23 elsuci 4474 . . . 4  |-  ( x  e.  suc  U. B  ->  ( x  e.  U. B  \/  x  =  U. B ) )
24 eloni 4418 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  On  ->  Ord  B )
25 orduniss 4503 . . . . . . . 8  |-  ( Ord 
B  ->  U. B  C_  B )
2624, 25syl 15 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  On  ->  U. B  C_  B )
27 bastg 16720 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  On  ->  B  C_  ( topGen `  B )
)
2826, 27sstrd 3202 . . . . . 6  |-  ( B  e.  On  ->  U. B  C_  ( topGen `  B )
)
2928sseld 3192 . . . . 5  |-  ( B  e.  On  ->  (
x  e.  U. B  ->  x  e.  ( topGen `  B ) ) )
30 ssid 3210 . . . . . . 7  |-  B  C_  B
31 eltg3i 16715 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  On  /\  B  C_  B )  ->  U. B  e.  ( topGen `
 B ) )
3230, 31mpan2 652 . . . . . 6  |-  ( B  e.  On  ->  U. B  e.  ( topGen `  B )
)
33 eleq1a 2365 . . . . . 6  |-  ( U. B  e.  ( topGen `  B )  ->  (
x  =  U. B  ->  x  e.  ( topGen `  B ) ) )
3432, 33syl 15 . . . . 5  |-  ( B  e.  On  ->  (
x  =  U. B  ->  x  e.  ( topGen `  B ) ) )
3529, 34jaod 369 . . . 4  |-  ( B  e.  On  ->  (
( x  e.  U. B  \/  x  =  U. B )  ->  x  e.  ( topGen `  B )
) )
3623, 35syl5 28 . . 3  |-  ( B  e.  On  ->  (
x  e.  suc  U. B  ->  x  e.  (
topGen `  B ) ) )
3722, 36impbid 183 . 2  |-  ( B  e.  On  ->  (
x  e.  ( topGen `  B )  <->  x  e.  suc  U. B ) )
3837eqrdv 2294 1  |-  ( B  e.  On  ->  ( topGen `
 B )  =  suc  U. B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    i^i cin 3164    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638   U.cuni 3843   Ord word 4407   Oncon0 4408   suc csuc 4410   ` cfv 5271   topGenctg 13358
This theorem is referenced by:  ontgsucval  24943
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-suc 4414  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fv 5279  df-topgen 13360
  Copyright terms: Public domain W3C validator