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Theorem ontgval 25888
Description: The topology generated from an ordinal number  B is  suc  U. B. (Contributed by Chen-Pang He, 10-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
ontgval  |-  ( B  e.  On  ->  ( topGen `
 B )  =  suc  U. B )

Proof of Theorem ontgval
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inex1g 4280 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  On  ->  ( B  i^i  ~P x )  e.  _V )
2 onss 4704 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  On  ->  B  C_  On )
3 ssinss1 3505 . . . . . . . 8  |-  ( B 
C_  On  ->  ( B  i^i  ~P x ) 
C_  On )
42, 3syl 16 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  On  ->  ( B  i^i  ~P x ) 
C_  On )
5 ssonuni 4700 . . . . . . 7  |-  ( ( B  i^i  ~P x
)  e.  _V  ->  ( ( B  i^i  ~P x )  C_  On  ->  U. ( B  i^i  ~P x )  e.  On ) )
61, 4, 5sylc 58 . . . . . 6  |-  ( B  e.  On  ->  U. ( B  i^i  ~P x )  e.  On )
7 eltg4i 16941 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( topGen `  B
)  ->  x  =  U. ( B  i^i  ~P x ) )
8 eleq1 2440 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  U. ( B  i^i  ~P x )  ->  ( x  e.  On  <->  U. ( B  i^i  ~P x )  e.  On ) )
98biimprd 215 . . . . . . 7  |-  ( x  =  U. ( B  i^i  ~P x )  ->  ( U. ( B  i^i  ~P x )  e.  On  ->  x  e.  On ) )
107, 9syl 16 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( topGen `  B
)  ->  ( U. ( B  i^i  ~P x
)  e.  On  ->  x  e.  On ) )
116, 10syl5com 28 . . . . 5  |-  ( B  e.  On  ->  (
x  e.  ( topGen `  B )  ->  x  e.  On ) )
12 onuni 4706 . . . . . 6  |-  ( B  e.  On  ->  U. B  e.  On )
13 suceloni 4726 . . . . . 6  |-  ( U. B  e.  On  ->  suc  U. B  e.  On )
1412, 13syl 16 . . . . 5  |-  ( B  e.  On  ->  suc  U. B  e.  On )
1511, 14jctird 529 . . . 4  |-  ( B  e.  On  ->  (
x  e.  ( topGen `  B )  ->  (
x  e.  On  /\  suc  U. B  e.  On ) ) )
16 tg1 16945 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( topGen `  B
)  ->  x  C_  U. B
)
1716a1i 11 . . . . 5  |-  ( B  e.  On  ->  (
x  e.  ( topGen `  B )  ->  x  C_ 
U. B ) )
18 sucidg 4593 . . . . . 6  |-  ( U. B  e.  On  ->  U. B  e.  suc  U. B )
1912, 18syl 16 . . . . 5  |-  ( B  e.  On  ->  U. B  e.  suc  U. B )
2017, 19jctird 529 . . . 4  |-  ( B  e.  On  ->  (
x  e.  ( topGen `  B )  ->  (
x  C_  U. B  /\  U. B  e.  suc  U. B ) ) )
21 ontr2 4562 . . . 4  |-  ( ( x  e.  On  /\  suc  U. B  e.  On )  ->  ( ( x 
C_  U. B  /\  U. B  e.  suc  U. B
)  ->  x  e.  suc  U. B ) )
2215, 20, 21syl6c 62 . . 3  |-  ( B  e.  On  ->  (
x  e.  ( topGen `  B )  ->  x  e.  suc  U. B ) )
23 elsuci 4581 . . . 4  |-  ( x  e.  suc  U. B  ->  ( x  e.  U. B  \/  x  =  U. B ) )
24 eloni 4525 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  On  ->  Ord  B )
25 orduniss 4609 . . . . . . . 8  |-  ( Ord 
B  ->  U. B  C_  B )
2624, 25syl 16 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  On  ->  U. B  C_  B )
27 bastg 16947 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  On  ->  B  C_  ( topGen `  B )
)
2826, 27sstrd 3294 . . . . . 6  |-  ( B  e.  On  ->  U. B  C_  ( topGen `  B )
)
2928sseld 3283 . . . . 5  |-  ( B  e.  On  ->  (
x  e.  U. B  ->  x  e.  ( topGen `  B ) ) )
30 ssid 3303 . . . . . . 7  |-  B  C_  B
31 eltg3i 16942 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  On  /\  B  C_  B )  ->  U. B  e.  ( topGen `
 B ) )
3230, 31mpan2 653 . . . . . 6  |-  ( B  e.  On  ->  U. B  e.  ( topGen `  B )
)
33 eleq1a 2449 . . . . . 6  |-  ( U. B  e.  ( topGen `  B )  ->  (
x  =  U. B  ->  x  e.  ( topGen `  B ) ) )
3432, 33syl 16 . . . . 5  |-  ( B  e.  On  ->  (
x  =  U. B  ->  x  e.  ( topGen `  B ) ) )
3529, 34jaod 370 . . . 4  |-  ( B  e.  On  ->  (
( x  e.  U. B  \/  x  =  U. B )  ->  x  e.  ( topGen `  B )
) )
3623, 35syl5 30 . . 3  |-  ( B  e.  On  ->  (
x  e.  suc  U. B  ->  x  e.  (
topGen `  B ) ) )
3722, 36impbid 184 . 2  |-  ( B  e.  On  ->  (
x  e.  ( topGen `  B )  <->  x  e.  suc  U. B ) )
3837eqrdv 2378 1  |-  ( B  e.  On  ->  ( topGen `
 B )  =  suc  U. B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2892    i^i cin 3255    C_ wss 3256   ~Pcpw 3735   U.cuni 3950   Ord word 4514   Oncon0 4515   suc csuc 4517   ` cfv 5387   topGenctg 13585
This theorem is referenced by:  ontgsucval  25889
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-ral 2647  df-rex 2648  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-suc 4521  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fv 5395  df-topgen 13587
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