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Theorem ontgval 26173
Description: The topology generated from an ordinal number  B is  suc  U. B. (Contributed by Chen-Pang He, 10-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
ontgval  |-  ( B  e.  On  ->  ( topGen `
 B )  =  suc  U. B )

Proof of Theorem ontgval
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inex1g 4338 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  On  ->  ( B  i^i  ~P x )  e.  _V )
2 onss 4763 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  On  ->  B  C_  On )
3 ssinss1 3561 . . . . . . . 8  |-  ( B 
C_  On  ->  ( B  i^i  ~P x ) 
C_  On )
42, 3syl 16 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  On  ->  ( B  i^i  ~P x ) 
C_  On )
5 ssonuni 4759 . . . . . . 7  |-  ( ( B  i^i  ~P x
)  e.  _V  ->  ( ( B  i^i  ~P x )  C_  On  ->  U. ( B  i^i  ~P x )  e.  On ) )
61, 4, 5sylc 58 . . . . . 6  |-  ( B  e.  On  ->  U. ( B  i^i  ~P x )  e.  On )
7 eltg4i 17017 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( topGen `  B
)  ->  x  =  U. ( B  i^i  ~P x ) )
8 eleq1 2495 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  U. ( B  i^i  ~P x )  ->  ( x  e.  On  <->  U. ( B  i^i  ~P x )  e.  On ) )
98biimprd 215 . . . . . . 7  |-  ( x  =  U. ( B  i^i  ~P x )  ->  ( U. ( B  i^i  ~P x )  e.  On  ->  x  e.  On ) )
107, 9syl 16 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( topGen `  B
)  ->  ( U. ( B  i^i  ~P x
)  e.  On  ->  x  e.  On ) )
116, 10syl5com 28 . . . . 5  |-  ( B  e.  On  ->  (
x  e.  ( topGen `  B )  ->  x  e.  On ) )
12 onuni 4765 . . . . . 6  |-  ( B  e.  On  ->  U. B  e.  On )
13 suceloni 4785 . . . . . 6  |-  ( U. B  e.  On  ->  suc  U. B  e.  On )
1412, 13syl 16 . . . . 5  |-  ( B  e.  On  ->  suc  U. B  e.  On )
1511, 14jctird 529 . . . 4  |-  ( B  e.  On  ->  (
x  e.  ( topGen `  B )  ->  (
x  e.  On  /\  suc  U. B  e.  On ) ) )
16 tg1 17021 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( topGen `  B
)  ->  x  C_  U. B
)
1716a1i 11 . . . . 5  |-  ( B  e.  On  ->  (
x  e.  ( topGen `  B )  ->  x  C_ 
U. B ) )
18 sucidg 4651 . . . . . 6  |-  ( U. B  e.  On  ->  U. B  e.  suc  U. B )
1912, 18syl 16 . . . . 5  |-  ( B  e.  On  ->  U. B  e.  suc  U. B )
2017, 19jctird 529 . . . 4  |-  ( B  e.  On  ->  (
x  e.  ( topGen `  B )  ->  (
x  C_  U. B  /\  U. B  e.  suc  U. B ) ) )
21 ontr2 4620 . . . 4  |-  ( ( x  e.  On  /\  suc  U. B  e.  On )  ->  ( ( x 
C_  U. B  /\  U. B  e.  suc  U. B
)  ->  x  e.  suc  U. B ) )
2215, 20, 21syl6c 62 . . 3  |-  ( B  e.  On  ->  (
x  e.  ( topGen `  B )  ->  x  e.  suc  U. B ) )
23 elsuci 4639 . . . 4  |-  ( x  e.  suc  U. B  ->  ( x  e.  U. B  \/  x  =  U. B ) )
24 eloni 4583 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  On  ->  Ord  B )
25 orduniss 4668 . . . . . . . 8  |-  ( Ord 
B  ->  U. B  C_  B )
2624, 25syl 16 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  On  ->  U. B  C_  B )
27 bastg 17023 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  On  ->  B  C_  ( topGen `  B )
)
2826, 27sstrd 3350 . . . . . 6  |-  ( B  e.  On  ->  U. B  C_  ( topGen `  B )
)
2928sseld 3339 . . . . 5  |-  ( B  e.  On  ->  (
x  e.  U. B  ->  x  e.  ( topGen `  B ) ) )
30 ssid 3359 . . . . . . 7  |-  B  C_  B
31 eltg3i 17018 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  On  /\  B  C_  B )  ->  U. B  e.  ( topGen `
 B ) )
3230, 31mpan2 653 . . . . . 6  |-  ( B  e.  On  ->  U. B  e.  ( topGen `  B )
)
33 eleq1a 2504 . . . . . 6  |-  ( U. B  e.  ( topGen `  B )  ->  (
x  =  U. B  ->  x  e.  ( topGen `  B ) ) )
3432, 33syl 16 . . . . 5  |-  ( B  e.  On  ->  (
x  =  U. B  ->  x  e.  ( topGen `  B ) ) )
3529, 34jaod 370 . . . 4  |-  ( B  e.  On  ->  (
( x  e.  U. B  \/  x  =  U. B )  ->  x  e.  ( topGen `  B )
) )
3623, 35syl5 30 . . 3  |-  ( B  e.  On  ->  (
x  e.  suc  U. B  ->  x  e.  (
topGen `  B ) ) )
3722, 36impbid 184 . 2  |-  ( B  e.  On  ->  (
x  e.  ( topGen `  B )  <->  x  e.  suc  U. B ) )
3837eqrdv 2433 1  |-  ( B  e.  On  ->  ( topGen `
 B )  =  suc  U. B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948    i^i cin 3311    C_ wss 3312   ~Pcpw 3791   U.cuni 4007   Ord word 4572   Oncon0 4573   suc csuc 4575   ` cfv 5446   topGenctg 13657
This theorem is referenced by:  ontgsucval  26174
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-suc 4579  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fv 5454  df-topgen 13659
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