MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ontri1 Unicode version

Theorem ontri1 4426
Description: A trichotomy law for ordinal numbers. (Contributed by NM, 6-Nov-2003.)
Assertion
Ref Expression
ontri1  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  C_  B  <->  -.  B  e.  A ) )

Proof of Theorem ontri1
StepHypRef Expression
1 eloni 4402 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  Ord  A )
2 eloni 4402 . 2  |-  ( B  e.  On  ->  Ord  B )
3 ordtri1 4425 . 2  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  B )  ->  ( A  C_  B  <->  -.  B  e.  A ) )
41, 2, 3syl2an 463 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  C_  B  <->  -.  B  e.  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1684    C_ wss 3152   Ord word 4391   Oncon0 4392
This theorem is referenced by:  oneqmini  4443  onmindif  4482  onint  4586  onnmin  4594  onmindif2  4603  dfom2  4658  ondif2  6501  oaword  6547  oawordeulem  6552  oaf1o  6561  odi  6577  omeulem1  6580  oeeulem  6599  oeeui  6600  nnmword  6631  domtriord  7007  sdomel  7008  onsdominel  7010  ordunifi  7107  cantnfp1lem3  7382  oemapvali  7386  cantnflem1b  7388  cantnflem1  7391  cnfcom3lem  7406  rankr1clem  7492  rankelb  7496  rankval3b  7498  rankr1a  7508  unbndrank  7514  rankxplim3  7551  cardne  7598  carden2b  7600  cardsdomel  7607  carddom2  7610  harcard  7611  domtri2  7622  infxpenlem  7641  alephord  7702  alephord3  7705  alephle  7715  dfac12k  7773  cflim2  7889  cofsmo  7895  cfsmolem  7896  isf32lem5  7983  pwcfsdom  8205  pwfseqlem3  8282  inar1  8397  om2uzlt2i  11014  sltval2  24310  sltres  24318  nodenselem7  24341  nocvxminlem  24344  nobndup  24354  nobnddown  24355  onsuct0  24880  onint1  24888
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396
  Copyright terms: Public domain W3C validator