MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ontri1 Unicode version

Theorem ontri1 4442
Description: A trichotomy law for ordinal numbers. (Contributed by NM, 6-Nov-2003.)
Assertion
Ref Expression
ontri1  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  C_  B  <->  -.  B  e.  A ) )

Proof of Theorem ontri1
StepHypRef Expression
1 eloni 4418 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  Ord  A )
2 eloni 4418 . 2  |-  ( B  e.  On  ->  Ord  B )
3 ordtri1 4441 . 2  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  B )  ->  ( A  C_  B  <->  -.  B  e.  A ) )
41, 2, 3syl2an 463 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  C_  B  <->  -.  B  e.  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1696    C_ wss 3165   Ord word 4407   Oncon0 4408
This theorem is referenced by:  oneqmini  4459  onmindif  4498  onint  4602  onnmin  4610  onmindif2  4619  dfom2  4674  ondif2  6517  oaword  6563  oawordeulem  6568  oaf1o  6577  odi  6593  omeulem1  6596  oeeulem  6615  oeeui  6616  nnmword  6647  domtriord  7023  sdomel  7024  onsdominel  7026  ordunifi  7123  cantnfp1lem3  7398  oemapvali  7402  cantnflem1b  7404  cantnflem1  7407  cnfcom3lem  7422  rankr1clem  7508  rankelb  7512  rankval3b  7514  rankr1a  7524  unbndrank  7530  rankxplim3  7567  cardne  7614  carden2b  7616  cardsdomel  7623  carddom2  7626  harcard  7627  domtri2  7638  infxpenlem  7657  alephord  7718  alephord3  7721  alephle  7731  dfac12k  7789  cflim2  7905  cofsmo  7911  cfsmolem  7912  isf32lem5  7999  pwcfsdom  8221  pwfseqlem3  8298  inar1  8413  om2uzlt2i  11030  sltval2  24381  sltres  24389  nodenselem7  24412  nocvxminlem  24415  nobndup  24425  nobnddown  24426  onsuct0  24952  onint1  24960
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412
  Copyright terms: Public domain W3C validator