MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  op1st Unicode version

Theorem op1st 6128
Description: Extract the first member of an ordered pair. (Contributed by NM, 5-Oct-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
op1st.1  |-  A  e. 
_V
op1st.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
op1st  |-  ( 1st `  <. A ,  B >. )  =  A

Proof of Theorem op1st
StepHypRef Expression
1 1stval 6124 . 2  |-  ( 1st `  <. A ,  B >. )  =  U. dom  {
<. A ,  B >. }
2 op1st.1 . . 3  |-  A  e. 
_V
3 op1st.2 . . 3  |-  B  e. 
_V
42, 3op1sta 5154 . 2  |-  U. dom  {
<. A ,  B >. }  =  A
51, 4eqtri 2303 1  |-  ( 1st `  <. A ,  B >. )  =  A
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   {csn 3640   <.cop 3643   U.cuni 3827   dom cdm 4689   ` cfv 5255   1stc1st 6120
This theorem is referenced by:  op1std  6130  op1stg  6132  1stval2  6137  fo1stres  6143  eloprabi  6186  algrflem  6224  xpmapenlem  7028  fseqenlem2  7652  archnq  8604  ruclem8  12515  idfu1st  13753  cofu1st  13757  xpccatid  13962  prf1st  13978  yonedalem21  14047  yonedalem22  14052  2ndcctbss  17181  upxp  17317  uptx  17319  cnheiborlem  18452  ovollb2lem  18847  ovolctb  18849  ovoliunlem2  18862  ovolshftlem1  18868  ovolscalem1  18872  ovolicc1  18875  ex-1st  20831  cnnvg  21246  cnnvs  21249  h2hva  21554  h2hsm  21555  hhssva  21836  hhsssm  21837  hhshsslem1  21844  br1steq  24130  prj1b  25079  mulveczer  25479  mulinvsca  25480  muldisc  25481  svli2  25484  cmp2morpdom  25964  cmp2morpcod  25965  filnetlem3  26329  heiborlem8  26542  pellexlem5  26918  pellex  26920  dvhvaddass  31287  dvhlveclem  31298  diblss  31360
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-1st 6122
  Copyright terms: Public domain W3C validator