MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  op1std Structured version   Unicode version

Theorem op1std 6357
Description: Extract the first member of an ordered pair. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
op1st.1  |-  A  e. 
_V
op1st.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
op1std  |-  ( C  =  <. A ,  B >.  ->  ( 1st `  C
)  =  A )

Proof of Theorem op1std
StepHypRef Expression
1 fveq2 5728 . 2  |-  ( C  =  <. A ,  B >.  ->  ( 1st `  C
)  =  ( 1st `  <. A ,  B >. ) )
2 op1st.1 . . 3  |-  A  e. 
_V
3 op1st.2 . . 3  |-  B  e. 
_V
42, 3op1st 6355 . 2  |-  ( 1st `  <. A ,  B >. )  =  A
51, 4syl6eq 2484 1  |-  ( C  =  <. A ,  B >.  ->  ( 1st `  C
)  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2956   <.cop 3817   ` cfv 5454   1stc1st 6347
This theorem is referenced by:  1st2val  6372  xp1st  6376  sbcopeq1a  6399  csbopeq1a  6400  eloprabi  6413  mpt2mptsx  6414  dmmpt2ssx  6416  fmpt2x  6417  ovmptss  6428  fmpt2co  6430  df1st2  6433  fsplit  6451  frxp  6456  xporderlem  6457  fnwelem  6461  xpf1o  7269  mapunen  7276  xpwdomg  7553  hsmexlem2  8307  fsumcom2  12558  qredeu  13107  isfuncd  14062  cofucl  14085  funcres2b  14094  funcpropd  14097  xpcco1st  14281  xpccatid  14285  1stf1  14289  2ndf1  14292  1stfcl  14294  prf1  14297  prfcl  14300  prf1st  14301  prf2nd  14302  evlf1  14317  evlfcl  14319  curf1fval  14321  curf11  14323  curf1cl  14325  curfcl  14329  hof1fval  14350  txbas  17599  cnmpt1st  17700  txhmeo  17835  ptuncnv  17839  ptunhmeo  17840  xpstopnlem1  17841  xkohmeo  17847  prdstmdd  18153  ucnimalem  18310  fmucndlem  18321  fsum2cn  18901  ovoliunlem1  19398  lgsquadlem1  21138  lgsquadlem2  21139  cvmliftlem15  24985  fprodcom2  25308  filnetlem4  26410  rmxypairf1o  26974  unxpwdom3  27233  fgraphxp  27507  dicelvalN  31976
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fv 5462  df-1st 6349
  Copyright terms: Public domain W3C validator