MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  op2nd Unicode version

Theorem op2nd 6145
Description: Extract the second member of an ordered pair. (Contributed by NM, 5-Oct-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
op1st.1  |-  A  e. 
_V
op1st.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
op2nd  |-  ( 2nd `  <. A ,  B >. )  =  B

Proof of Theorem op2nd
StepHypRef Expression
1 2ndval 6141 . 2  |-  ( 2nd `  <. A ,  B >. )  =  U. ran  {
<. A ,  B >. }
2 op1st.1 . . 3  |-  A  e. 
_V
3 op1st.2 . . 3  |-  B  e. 
_V
42, 3op2nda 5173 . 2  |-  U. ran  {
<. A ,  B >. }  =  B
51, 4eqtri 2316 1  |-  ( 2nd `  <. A ,  B >. )  =  B
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801   {csn 3653   <.cop 3656   U.cuni 3843   ran crn 4706   ` cfv 5271   2ndc2nd 6137
This theorem is referenced by:  op2ndd  6147  op2ndg  6149  2ndval2  6154  fo2ndres  6160  eloprabi  6202  seqomlem1  6478  seqomlem2  6479  xpmapenlem  7044  fseqenlem2  7668  axdc4lem  8097  iunfo  8177  archnq  8620  om2uzrdg  11035  uzrdgsuci  11039  fsum2dlem  12249  ruclem8  12531  ruclem11  12534  eucalglt  12771  idfu2nd  13767  idfucl  13771  cofu2nd  13775  cofucl  13778  xpccatid  13978  prf2nd  13995  curf2ndf  14037  yonedalem22  14068  gaid  14769  2ndcctbss  17197  upxp  17333  uptx  17335  txkgen  17362  cnheiborlem  18468  ovollb2lem  18863  ovolctb  18865  ovoliunlem2  18878  ovolshftlem1  18884  ovolscalem1  18888  ovolicc1  18891  ex-2nd  20848  cnnvs  21265  cnnvnm  21266  h2hsm  21571  h2hnm  21572  hhsssm  21853  hhssnm  21854  br2ndeq  24202  prj3  25183  cmp2morpgrp  26066  cmp2morpcod  26068  heiborlem7  26644  heiborlem8  26645  pellexlem5  27021  pellex  27023  dvhvaddass  31909  dvhlveclem  31920  diblss  31982
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fv 5279  df-2nd 6139
  Copyright terms: Public domain W3C validator