MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  op2nd Unicode version

Theorem op2nd 6129
Description: Extract the second member of an ordered pair. (Contributed by NM, 5-Oct-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
op1st.1  |-  A  e. 
_V
op1st.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
op2nd  |-  ( 2nd `  <. A ,  B >. )  =  B

Proof of Theorem op2nd
StepHypRef Expression
1 2ndval 6125 . 2  |-  ( 2nd `  <. A ,  B >. )  =  U. ran  {
<. A ,  B >. }
2 op1st.1 . . 3  |-  A  e. 
_V
3 op1st.2 . . 3  |-  B  e. 
_V
42, 3op2nda 5157 . 2  |-  U. ran  {
<. A ,  B >. }  =  B
51, 4eqtri 2303 1  |-  ( 2nd `  <. A ,  B >. )  =  B
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   {csn 3640   <.cop 3643   U.cuni 3827   ran crn 4690   ` cfv 5255   2ndc2nd 6121
This theorem is referenced by:  op2ndd  6131  op2ndg  6133  2ndval2  6138  fo2ndres  6144  eloprabi  6186  seqomlem1  6462  seqomlem2  6463  xpmapenlem  7028  fseqenlem2  7652  axdc4lem  8081  iunfo  8161  archnq  8604  om2uzrdg  11019  uzrdgsuci  11023  fsum2dlem  12233  ruclem8  12515  ruclem11  12518  eucalglt  12755  idfu2nd  13751  idfucl  13755  cofu2nd  13759  cofucl  13762  xpccatid  13962  prf2nd  13979  curf2ndf  14021  yonedalem22  14052  gaid  14753  2ndcctbss  17181  upxp  17317  uptx  17319  txkgen  17346  cnheiborlem  18452  ovollb2lem  18847  ovolctb  18849  ovoliunlem2  18862  ovolshftlem1  18868  ovolscalem1  18872  ovolicc1  18875  ex-2nd  20832  cnnvs  21249  cnnvnm  21250  h2hsm  21555  h2hnm  21556  hhsssm  21837  hhssnm  21838  br2ndeq  24131  prj3  25080  cmp2morpgrp  25963  cmp2morpcod  25965  heiborlem7  26541  heiborlem8  26542  pellexlem5  26918  pellex  26920  dvhvaddass  31287  dvhlveclem  31298  diblss  31360
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-2nd 6123
  Copyright terms: Public domain W3C validator