MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  op2nd Structured version   Unicode version

Theorem op2nd 6356
Description: Extract the second member of an ordered pair. (Contributed by NM, 5-Oct-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
op1st.1  |-  A  e. 
_V
op1st.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
op2nd  |-  ( 2nd `  <. A ,  B >. )  =  B

Proof of Theorem op2nd
StepHypRef Expression
1 2ndval 6352 . 2  |-  ( 2nd `  <. A ,  B >. )  =  U. ran  {
<. A ,  B >. }
2 op1st.1 . . 3  |-  A  e. 
_V
3 op1st.2 . . 3  |-  B  e. 
_V
42, 3op2nda 5354 . 2  |-  U. ran  {
<. A ,  B >. }  =  B
51, 4eqtri 2456 1  |-  ( 2nd `  <. A ,  B >. )  =  B
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2956   {csn 3814   <.cop 3817   U.cuni 4015   ran crn 4879   ` cfv 5454   2ndc2nd 6348
This theorem is referenced by:  op2ndd  6358  op2ndg  6360  2ndval2  6365  fo2ndres  6371  eloprabi  6413  fo2ndf  6453  f1o2ndf1  6454  seqomlem1  6707  seqomlem2  6708  xpmapenlem  7274  fseqenlem2  7906  axdc4lem  8335  iunfo  8414  archnq  8857  om2uzrdg  11296  uzrdgsuci  11300  fsum2dlem  12554  ruclem8  12836  ruclem11  12839  eucalglt  13076  idfu2nd  14074  idfucl  14078  cofu2nd  14082  cofucl  14085  xpccatid  14285  prf2nd  14302  curf2ndf  14344  yonedalem22  14375  gaid  15076  2ndcctbss  17518  upxp  17655  uptx  17657  txkgen  17684  cnheiborlem  18979  ovollb2lem  19384  ovolctb  19386  ovoliunlem2  19399  ovolshftlem1  19405  ovolscalem1  19409  ovolicc1  19412  ex-2nd  21753  cnnvs  22172  cnnvnm  22173  h2hsm  22478  h2hnm  22479  hhsssm  22760  hhssnm  22761  fprod2dlem  25304  br2ndeq  25399  heiborlem7  26526  heiborlem8  26527  pellexlem5  26896  pellex  26898  dvhvaddass  31895  dvhlveclem  31906  diblss  31968
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fv 5462  df-2nd 6350
  Copyright terms: Public domain W3C validator