MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  op2ndd Unicode version

Theorem op2ndd 6131
Description: Extract the second member of an ordered pair. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
op1st.1  |-  A  e. 
_V
op1st.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
op2ndd  |-  ( C  =  <. A ,  B >.  ->  ( 2nd `  C
)  =  B )

Proof of Theorem op2ndd
StepHypRef Expression
1 fveq2 5525 . 2  |-  ( C  =  <. A ,  B >.  ->  ( 2nd `  C
)  =  ( 2nd `  <. A ,  B >. ) )
2 op1st.1 . . 3  |-  A  e. 
_V
3 op1st.2 . . 3  |-  B  e. 
_V
42, 3op2nd 6129 . 2  |-  ( 2nd `  <. A ,  B >. )  =  B
51, 4syl6eq 2331 1  |-  ( C  =  <. A ,  B >.  ->  ( 2nd `  C
)  =  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   <.cop 3643   ` cfv 5255   2ndc2nd 6121
This theorem is referenced by:  2nd2val  6146  xp2nd  6150  sbcopeq1a  6172  csbopeq1a  6173  eloprabi  6186  mpt2mptsx  6187  dmmpt2ssx  6189  fmpt2x  6190  ovmptss  6200  fmpt2co  6202  df2nd2  6206  frxp  6225  xporderlem  6226  fnwelem  6230  xpf1o  7023  mapunen  7030  xpwdomg  7299  hsmexlem2  8053  nqereu  8553  uzrdgfni  11021  fsumcom2  12237  qredeu  12786  comfeq  13609  isfuncd  13739  cofucl  13762  funcres2b  13771  funcpropd  13774  xpcco2nd  13959  xpccatid  13962  1stf2  13967  2ndf2  13970  1stfcl  13971  2ndfcl  13972  prf2fval  13975  prfcl  13977  evlf2  13992  evlfcl  13996  curf12  14001  curf1cl  14002  curf2  14003  curfcl  14006  hof2fval  14029  hofcl  14033  txbas  17262  cnmpt2nd  17363  txhmeo  17494  ptuncnv  17498  ptunhmeo  17499  xpstopnlem1  17500  xkohmeo  17506  prdstmdd  17806  fsum2cn  18375  ovoliunlem1  18861  eloi  25086  filnetlem4  26330  heiborlem4  26538  heiborlem6  26540  rmxypairf1o  26996  unxpwdom3  27256  fgraphxp  27530  dicelvalN  31368
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-2nd 6123
  Copyright terms: Public domain W3C validator