Theorem op2ndg 4088

Description: Extract the second member of an ordered pair.

Assertion

Ref	Expression
op2ndg	|- ((A e. C /\ B e. D) -> (2nd` <.A, B>.) = B)

Proof of Theorem op2ndg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq1 2487	. . . 4 |- (x = A -> <.x, y>. = <.A, y>.)
2	1	fveq2d 3728	. . 3 |- (x = A -> (2nd` <.x, y>.) = (2nd` <.A, y>.))
3	2	eqeq1d 1483	. 2 |- (x = A -> ((2nd` <.x, y>.) = y <-> (2nd` <.A, y>.) = y))
4		opeq2 2488	. . . 4 |- (y = B -> <.A, y>. = <.A, B>.)
5	4	fveq2d 3728	. . 3 |- (y = B -> (2nd` <.A, y>.) = (2nd` <.A, B>.))
6		id 59	. . 3 |- (y = B -> y = B)
7	5, 6	eqeq12d 1489	. 2 |- (y = B -> ((2nd` <.A, y>.) = y <-> (2nd` <.A, B>.) = B))
8		visset 1813	. . 3 |- x e. V
9		visset 1813	. . 3 |- y e. V
10	8, 9	op2nd 4086	. 2 |- (2nd` <.x, y>.) = y
11	3, 7, 10	vtocl2g 1850	1 |- ((A e. C /\ B e. D) -> (2nd` <.A, B>.) = B)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  <.cop 2411  ` cfv 3182  2ndc2nd 4078

This theorem is referenced by:  2ndconst 4097  curry1 4098  eqop 4104  seqzfval 6537  vcoprne 8198

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fv 3198  df-2nd 4080

Copyright terms: Public domain