Theorem opabex 3609

Description: Existence of a function expressed as class of ordered pairs.

Hypotheses

Ref	Expression
opabex.1	|- A e. V
opabex.2	|- (x e. A -> E*yph)

Assertion

Ref	Expression
opabex	|- {<.x, y>. | (x e. A /\ ph)} e. V

Distinct variable group:   x,y,A

Proof of Theorem opabex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funopab 3548	. . 3 |- (Fun {<.x, y>. | (x e. A /\ ph)} <-> A.xE*y(x e. A /\ ph))
2		opabex.2	. . . 4 |- (x e. A -> E*yph)
3		moanimv 1429	. . . 4 |- (E*y(x e. A /\ ph) <-> (x e. A -> E*yph))
4	2, 3	mpbir 190	. . 3 |- E*y(x e. A /\ ph)
5	1, 4	mpgbir 988	. 2 |- Fun {<.x, y>. | (x e. A /\ ph)}
6		opabex.1	. . 3 |- A e. V
7		dmopabss 3321	. . 3 |- dom {<.x, y>. | (x e. A /\ ph)} (_ A
8	6, 7	ssexi 2720	. 2 |- dom {<.x, y>. | (x e. A /\ ph)} e. V
9		funex 3608	. 2 |- ((Fun {<.x, y>. | (x e. A /\ ph)} /\ dom {<.x, y>. | (x e. A /\ ph)} e. V) -> {<.x, y>. | (x e. A /\ ph)} e. V)
10	5, 8, 9	mp2an 697	1 |- {<.x, y>. | (x e. A /\ ph)} e. V

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 958  E*wmo 1381  Vcvv 1811  {copab 2666  dom cdm 3170  Fun wfun 3176

This theorem is referenced by:  opabex2 3610

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193

Copyright terms: Public domain