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Theorem opabex3 5769
Description: Existence of an ordered pair abstraction. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
opabex3.1  |-  A  e. 
_V
opabex3.2  |-  ( x  e.  A  ->  { y  |  ph }  e.  _V )
Assertion
Ref Expression
opabex3  |-  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  ph ) }  e.  _V
Distinct variable group:    x, A, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)

Proof of Theorem opabex3
Dummy variables  v  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 19.42v 1846 . . . . . 6  |-  ( E. y ( x  e.  A  /\  ( z  =  <. x ,  y
>.  /\  ph ) )  <-> 
( x  e.  A  /\  E. y ( z  =  <. x ,  y
>.  /\  ph ) ) )
2 an12 772 . . . . . . 7  |-  ( ( z  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  A  /\  ph ) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
z  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) ) )
32exbii 1569 . . . . . 6  |-  ( E. y ( z  = 
<. x ,  y >.  /\  ( x  e.  A  /\  ph ) )  <->  E. y
( x  e.  A  /\  ( z  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) ) )
4 elxp 4706 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( { x }  X.  { y  | 
ph } )  <->  E. v E. w ( z  = 
<. v ,  w >.  /\  ( v  e.  {
x }  /\  w  e.  { y  |  ph } ) ) )
5 excom 1786 . . . . . . . . 9  |-  ( E. v E. w ( z  =  <. v ,  w >.  /\  (
v  e.  { x }  /\  w  e.  {
y  |  ph }
) )  <->  E. w E. v ( z  = 
<. v ,  w >.  /\  ( v  e.  {
x }  /\  w  e.  { y  |  ph } ) ) )
6 an12 772 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  =  <. v ,  w >.  /\  (
v  e.  { x }  /\  w  e.  {
y  |  ph }
) )  <->  ( v  e.  { x }  /\  ( z  =  <. v ,  w >.  /\  w  e.  { y  |  ph } ) ) )
7 elsn 3655 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  e.  { x }  <->  v  =  x )
87anbi1i 676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( v  e.  { x }  /\  ( z  = 
<. v ,  w >.  /\  w  e.  { y  |  ph } ) )  <->  ( v  =  x  /\  ( z  =  <. v ,  w >.  /\  w  e.  {
y  |  ph }
) ) )
96, 8bitri 240 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  =  <. v ,  w >.  /\  (
v  e.  { x }  /\  w  e.  {
y  |  ph }
) )  <->  ( v  =  x  /\  (
z  =  <. v ,  w >.  /\  w  e.  { y  |  ph } ) ) )
109exbii 1569 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. v ( z  = 
<. v ,  w >.  /\  ( v  e.  {
x }  /\  w  e.  { y  |  ph } ) )  <->  E. v
( v  =  x  /\  ( z  = 
<. v ,  w >.  /\  w  e.  { y  |  ph } ) ) )
11 vex 2791 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
12 opeq1 3796 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  x  ->  <. v ,  w >.  =  <. x ,  w >. )
1312eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  x  ->  (
z  =  <. v ,  w >.  <->  z  =  <. x ,  w >. )
)
1413anbi1d 685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  x  ->  (
( z  =  <. v ,  w >.  /\  w  e.  { y  |  ph } )  <->  ( z  =  <. x ,  w >.  /\  w  e.  {
y  |  ph }
) ) )
1511, 14ceqsexv 2823 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. v ( v  =  x  /\  ( z  =  <. v ,  w >.  /\  w  e.  {
y  |  ph }
) )  <->  ( z  =  <. x ,  w >.  /\  w  e.  {
y  |  ph }
) )
1610, 15bitri 240 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. v ( z  = 
<. v ,  w >.  /\  ( v  e.  {
x }  /\  w  e.  { y  |  ph } ) )  <->  ( z  =  <. x ,  w >.  /\  w  e.  {
y  |  ph }
) )
1716exbii 1569 . . . . . . . . 9  |-  ( E. w E. v ( z  =  <. v ,  w >.  /\  (
v  e.  { x }  /\  w  e.  {
y  |  ph }
) )  <->  E. w
( z  =  <. x ,  w >.  /\  w  e.  { y  |  ph } ) )
185, 17bitri 240 . . . . . . . 8  |-  ( E. v E. w ( z  =  <. v ,  w >.  /\  (
v  e.  { x }  /\  w  e.  {
y  |  ph }
) )  <->  E. w
( z  =  <. x ,  w >.  /\  w  e.  { y  |  ph } ) )
19 nfv 1605 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y  z  =  <. x ,  w >.
20 nfsab1 2273 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y  w  e.  { y  |  ph }
2119, 20nfan 1771 . . . . . . . . 9  |-  F/ y ( z  =  <. x ,  w >.  /\  w  e.  { y  |  ph } )
22 nfv 1605 . . . . . . . . 9  |-  F/ w
( z  =  <. x ,  y >.  /\  ph )
23 opeq2 3797 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  y  ->  <. x ,  w >.  =  <. x ,  y >. )
2423eqeq2d 2294 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  y  ->  (
z  =  <. x ,  w >.  <->  z  =  <. x ,  y >. )
)
25 sbequ12 1860 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  w  ->  ( ph 
<->  [ w  /  y ] ph ) )
2625eqcoms 2286 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  y  ->  ( ph 
<->  [ w  /  y ] ph ) )
27 df-clab 2270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  { y  | 
ph }  <->  [ w  /  y ] ph )
2826, 27syl6rbbr 255 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  y  ->  (
w  e.  { y  |  ph }  <->  ph ) )
2924, 28anbi12d 691 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  y  ->  (
( z  =  <. x ,  w >.  /\  w  e.  { y  |  ph } )  <->  ( z  =  <. x ,  y
>.  /\  ph ) ) )
3021, 22, 29cbvex 1925 . . . . . . . 8  |-  ( E. w ( z  = 
<. x ,  w >.  /\  w  e.  { y  |  ph } )  <->  E. y ( z  = 
<. x ,  y >.  /\  ph ) )
314, 18, 303bitri 262 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( { x }  X.  { y  | 
ph } )  <->  E. y
( z  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) )
3231anbi2i 675 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  z  e.  ( {
x }  X.  {
y  |  ph }
) )  <->  ( x  e.  A  /\  E. y
( z  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) ) )
331, 3, 323bitr4ri 269 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  /\  z  e.  ( {
x }  X.  {
y  |  ph }
) )  <->  E. y
( z  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  A  /\  ph ) ) )
3433exbii 1569 . . . 4  |-  ( E. x ( x  e.  A  /\  z  e.  ( { x }  X.  { y  |  ph } ) )  <->  E. x E. y ( z  = 
<. x ,  y >.  /\  ( x  e.  A  /\  ph ) ) )
35 eliun 3909 . . . . 5  |-  ( z  e.  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  { y  | 
ph } )  <->  E. x  e.  A  z  e.  ( { x }  X.  { y  |  ph } ) )
36 df-rex 2549 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  z  e.  ( { x }  X.  { y  | 
ph } )  <->  E. x
( x  e.  A  /\  z  e.  ( { x }  X.  { y  |  ph } ) ) )
3735, 36bitri 240 . . . 4  |-  ( z  e.  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  { y  | 
ph } )  <->  E. x
( x  e.  A  /\  z  e.  ( { x }  X.  { y  |  ph } ) ) )
38 elopab 4272 . . . 4  |-  ( z  e.  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  ph ) }  <->  E. x E. y ( z  = 
<. x ,  y >.  /\  ( x  e.  A  /\  ph ) ) )
3934, 37, 383bitr4i 268 . . 3  |-  ( z  e.  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  { y  | 
ph } )  <->  z  e.  {
<. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  ph ) } )
4039eqriv 2280 . 2  |-  U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  {
y  |  ph }
)  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  ph ) }
41 opabex3.1 . . 3  |-  A  e. 
_V
42 snex 4216 . . . . 5  |-  { x }  e.  _V
43 opabex3.2 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  ->  { y  |  ph }  e.  _V )
44 xpexg 4800 . . . . 5  |-  ( ( { x }  e.  _V  /\  { y  | 
ph }  e.  _V )  ->  ( { x }  X.  { y  | 
ph } )  e. 
_V )
4542, 43, 44sylancr 644 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  ( { x }  X.  { y  |  ph } )  e.  _V )
4645rgen 2608 . . 3  |-  A. x  e.  A  ( {
x }  X.  {
y  |  ph }
)  e.  _V
47 iunexg 5767 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  A. x  e.  A  ( { x }  X.  { y  |  ph } )  e.  _V )  ->  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  { y  |  ph } )  e.  _V )
4841, 46, 47mp2an 653 . 2  |-  U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  {
y  |  ph }
)  e.  _V
4940, 48eqeltrri 2354 1  |-  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  ph ) }  e.  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623   [wsb 1629    e. wcel 1684   {cab 2269   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788   {csn 3640   <.cop 3643   U_ciun 3905   {copab 4076    X. cxp 4687
This theorem is referenced by:  dvdsrval  15427  isside0  25576  opabex3OLD  25796
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263
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