MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opabid2 Unicode version

Theorem opabid2 4831
Description: A relation expressed as an ordered pair abstraction. (Contributed by NM, 11-Dec-2006.)
Assertion
Ref Expression
opabid2  |-  ( Rel 
A  ->  { <. x ,  y >.  |  <. x ,  y >.  e.  A }  =  A )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem opabid2
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2804 . . . 4  |-  z  e. 
_V
2 vex 2804 . . . 4  |-  w  e. 
_V
3 opeq1 3812 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  <. x ,  y >.  =  <. z ,  y >. )
43eleq1d 2362 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  ( <. x ,  y >.  e.  A  <->  <. z ,  y
>.  e.  A ) )
5 opeq2 3813 . . . . 5  |-  ( y  =  w  ->  <. z ,  y >.  =  <. z ,  w >. )
65eleq1d 2362 . . . 4  |-  ( y  =  w  ->  ( <. z ,  y >.  e.  A  <->  <. z ,  w >.  e.  A ) )
71, 2, 4, 6opelopab 4302 . . 3  |-  ( <.
z ,  w >.  e. 
{ <. x ,  y
>.  |  <. x ,  y >.  e.  A } 
<-> 
<. z ,  w >.  e.  A )
87gen2 1537 . 2  |-  A. z A. w ( <. z ,  w >.  e.  { <. x ,  y >.  |  <. x ,  y >.  e.  A } 
<-> 
<. z ,  w >.  e.  A )
9 relopab 4828 . . 3  |-  Rel  { <. x ,  y >.  |  <. x ,  y
>.  e.  A }
10 eqrel 4793 . . 3  |-  ( ( Rel  { <. x ,  y >.  |  <. x ,  y >.  e.  A }  /\  Rel  A )  ->  ( { <. x ,  y >.  |  <. x ,  y >.  e.  A }  =  A  <->  A. z A. w ( <. z ,  w >.  e.  { <. x ,  y >.  |  <. x ,  y >.  e.  A } 
<-> 
<. z ,  w >.  e.  A ) ) )
119, 10mpan 651 . 2  |-  ( Rel 
A  ->  ( { <. x ,  y >.  |  <. x ,  y
>.  e.  A }  =  A 
<-> 
A. z A. w
( <. z ,  w >.  e.  { <. x ,  y >.  |  <. x ,  y >.  e.  A } 
<-> 
<. z ,  w >.  e.  A ) ) )
128, 11mpbiri 224 1  |-  ( Rel 
A  ->  { <. x ,  y >.  |  <. x ,  y >.  e.  A }  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176   A.wal 1530    = wceq 1632    e. wcel 1696   <.cop 3656   {copab 4092   Rel wrel 4710
This theorem is referenced by:  opabbi2dv  4849  dmoprabss6  25138
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-opab 4094  df-xp 4711  df-rel 4712
  Copyright terms: Public domain W3C validator