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Theorem opabiota 6293
Description: Define a function whose value is "the unique  y such that  ph ( x ,  y )". (Contributed by NM, 16-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
opabiota.1  |-  F  =  { <. x ,  y
>.  |  { y  |  ph }  =  {
y } }
opabiota.2  |-  ( x  =  B  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
opabiota  |-  ( B  e.  dom  F  -> 
( F `  B
)  =  ( iota y ps ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, F, y    ps, x
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    ps( y)

Proof of Theorem opabiota
StepHypRef Expression
1 fveq2 5525 . . 3  |-  ( x  =  B  ->  ( F `  x )  =  ( F `  B ) )
2 opabiota.2 . . . 4  |-  ( x  =  B  ->  ( ph 
<->  ps ) )
32iotabidv 5240 . . 3  |-  ( x  =  B  ->  ( iota y ph )  =  ( iota y ps ) )
41, 3eqeq12d 2297 . 2  |-  ( x  =  B  ->  (
( F `  x
)  =  ( iota y ph )  <->  ( F `  B )  =  ( iota y ps )
) )
5 vex 2791 . . . 4  |-  x  e. 
_V
65eldm 4876 . . 3  |-  ( x  e.  dom  F  <->  E. y  x F y )
7 opabiota.1 . . . . . . 7  |-  F  =  { <. x ,  y
>.  |  { y  |  ph }  =  {
y } }
8 nfopab2 4086 . . . . . . 7  |-  F/_ y { <. x ,  y
>.  |  { y  |  ph }  =  {
y } }
97, 8nfcxfr 2416 . . . . . 6  |-  F/_ y F
10 nfcv 2419 . . . . . 6  |-  F/_ y
x
119, 10nffv 5532 . . . . 5  |-  F/_ y
( F `  x
)
12 nfiota1 5221 . . . . 5  |-  F/_ y
( iota y ph )
1311, 12nfeq 2426 . . . 4  |-  F/ y ( F `  x
)  =  ( iota y ph )
147opabiotafun 6291 . . . . . 6  |-  Fun  F
15 funbrfv 5561 . . . . . 6  |-  ( Fun 
F  ->  ( x F y  ->  ( F `  x )  =  y ) )
1614, 15ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( x F y  ->  ( F `  x )  =  y )
17 df-br 4024 . . . . . . . 8  |-  ( x F y  <->  <. x ,  y >.  e.  F
)
187eleq2i 2347 . . . . . . . 8  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  F  <->  <. x ,  y
>.  e.  { <. x ,  y >.  |  {
y  |  ph }  =  { y } }
)
19 opabid 4271 . . . . . . . 8  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  { <. x ,  y
>.  |  { y  |  ph }  =  {
y } }  <->  { y  |  ph }  =  {
y } )
2017, 18, 193bitri 262 . . . . . . 7  |-  ( x F y  <->  { y  |  ph }  =  {
y } )
21 vex 2791 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
_V
2221snid 3667 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
{ y }
23 id 19 . . . . . . . . 9  |-  ( { y  |  ph }  =  { y }  ->  { y  |  ph }  =  { y } )
2422, 23syl5eleqr 2370 . . . . . . . 8  |-  ( { y  |  ph }  =  { y }  ->  y  e.  { y  | 
ph } )
25 abid 2271 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  { y  | 
ph }  <->  ph )
2624, 25sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( { y  |  ph }  =  { y }  ->  ph )
2720, 26sylbi 187 . . . . . 6  |-  ( x F y  ->  ph )
285, 21breldm 4883 . . . . . . . 8  |-  ( x F y  ->  x  e.  dom  F )
297opabiotadm 6292 . . . . . . . . 9  |-  dom  F  =  { x  |  E! y ph }
3029abeq2i 2390 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  dom  F  <->  E! y ph )
3128, 30sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( x F y  ->  E! y ph )
32 iota1 5233 . . . . . . 7  |-  ( E! y ph  ->  ( ph 
<->  ( iota y ph )  =  y )
)
3331, 32syl 15 . . . . . 6  |-  ( x F y  ->  ( ph 
<->  ( iota y ph )  =  y )
)
3427, 33mpbid 201 . . . . 5  |-  ( x F y  ->  ( iota y ph )  =  y )
3516, 34eqtr4d 2318 . . . 4  |-  ( x F y  ->  ( F `  x )  =  ( iota y ph ) )
3613, 35exlimi 1801 . . 3  |-  ( E. y  x F y  ->  ( F `  x )  =  ( iota y ph )
)
376, 36sylbi 187 . 2  |-  ( x  e.  dom  F  -> 
( F `  x
)  =  ( iota y ph ) )
384, 37vtoclga 2849 1  |-  ( B  e.  dom  F  -> 
( F `  B
)  =  ( iota y ps ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   E!weu 2143   {cab 2269   {csn 3640   <.cop 3643   class class class wbr 4023   {copab 4076   dom cdm 4689   iotacio 5217   Fun wfun 5249   ` cfv 5255
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263
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