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Theorem opabiota 6538
Description: Define a function whose value is "the unique  y such that  ph ( x ,  y )". (Contributed by NM, 16-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
opabiota.1  |-  F  =  { <. x ,  y
>.  |  { y  |  ph }  =  {
y } }
opabiota.2  |-  ( x  =  B  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
opabiota  |-  ( B  e.  dom  F  -> 
( F `  B
)  =  ( iota y ps ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, F, y    ps, x
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    ps( y)

Proof of Theorem opabiota
StepHypRef Expression
1 fveq2 5728 . . 3  |-  ( x  =  B  ->  ( F `  x )  =  ( F `  B ) )
2 opabiota.2 . . . 4  |-  ( x  =  B  ->  ( ph 
<->  ps ) )
32iotabidv 5439 . . 3  |-  ( x  =  B  ->  ( iota y ph )  =  ( iota y ps ) )
41, 3eqeq12d 2450 . 2  |-  ( x  =  B  ->  (
( F `  x
)  =  ( iota y ph )  <->  ( F `  B )  =  ( iota y ps )
) )
5 vex 2959 . . . 4  |-  x  e. 
_V
65eldm 5067 . . 3  |-  ( x  e.  dom  F  <->  E. y  x F y )
7 nfiota1 5420 . . . . 5  |-  F/_ y
( iota y ph )
87nfeq2 2583 . . . 4  |-  F/ y ( F `  x
)  =  ( iota y ph )
9 opabiota.1 . . . . . . 7  |-  F  =  { <. x ,  y
>.  |  { y  |  ph }  =  {
y } }
109opabiotafun 6536 . . . . . 6  |-  Fun  F
11 funbrfv 5765 . . . . . 6  |-  ( Fun 
F  ->  ( x F y  ->  ( F `  x )  =  y ) )
1210, 11ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( x F y  ->  ( F `  x )  =  y )
13 df-br 4213 . . . . . . . 8  |-  ( x F y  <->  <. x ,  y >.  e.  F
)
149eleq2i 2500 . . . . . . . 8  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  F  <->  <. x ,  y
>.  e.  { <. x ,  y >.  |  {
y  |  ph }  =  { y } }
)
15 opabid 4461 . . . . . . . 8  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  { <. x ,  y
>.  |  { y  |  ph }  =  {
y } }  <->  { y  |  ph }  =  {
y } )
1613, 14, 153bitri 263 . . . . . . 7  |-  ( x F y  <->  { y  |  ph }  =  {
y } )
17 vex 2959 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
_V
1817snid 3841 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
{ y }
19 id 20 . . . . . . . . 9  |-  ( { y  |  ph }  =  { y }  ->  { y  |  ph }  =  { y } )
2018, 19syl5eleqr 2523 . . . . . . . 8  |-  ( { y  |  ph }  =  { y }  ->  y  e.  { y  | 
ph } )
21 abid 2424 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  { y  | 
ph }  <->  ph )
2220, 21sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( { y  |  ph }  =  { y }  ->  ph )
2316, 22sylbi 188 . . . . . 6  |-  ( x F y  ->  ph )
245, 17breldm 5074 . . . . . . . 8  |-  ( x F y  ->  x  e.  dom  F )
259opabiotadm 6537 . . . . . . . . 9  |-  dom  F  =  { x  |  E! y ph }
2625abeq2i 2543 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  dom  F  <->  E! y ph )
2724, 26sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( x F y  ->  E! y ph )
28 iota1 5432 . . . . . . 7  |-  ( E! y ph  ->  ( ph 
<->  ( iota y ph )  =  y )
)
2927, 28syl 16 . . . . . 6  |-  ( x F y  ->  ( ph 
<->  ( iota y ph )  =  y )
)
3023, 29mpbid 202 . . . . 5  |-  ( x F y  ->  ( iota y ph )  =  y )
3112, 30eqtr4d 2471 . . . 4  |-  ( x F y  ->  ( F `  x )  =  ( iota y ph ) )
328, 31exlimi 1821 . . 3  |-  ( E. y  x F y  ->  ( F `  x )  =  ( iota y ph )
)
336, 32sylbi 188 . 2  |-  ( x  e.  dom  F  -> 
( F `  x
)  =  ( iota y ph ) )
344, 33vtoclga 3017 1  |-  ( B  e.  dom  F  -> 
( F `  B
)  =  ( iota y ps ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   E!weu 2281   {cab 2422   {csn 3814   <.cop 3817   class class class wbr 4212   {copab 4265   dom cdm 4878   iotacio 5416   Fun wfun 5448   ` cfv 5454
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pr 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fv 5462
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