Theorem opabssxp 3240

Description: An abstraction relation is a subset of a related cross product.

Assertion

Ref	Expression
opabssxp	|- {<.x, y>. | ((x e. A /\ y e. B) /\ ph)} (_ (A X. B)

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y

Proof of Theorem opabssxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm3.26 319	. . 3 |- (((x e. A /\ y e. B) /\ ph) -> (x e. A /\ y e. B))
2	1	ssopab2i 2829	. 2 |- {<.x, y>. | ((x e. A /\ y e. B) /\ ph)} (_ {<.x, y>. | (x e. A /\ y e. B)}
3		df-xp 3190	. 2 |- (A X. B) = {<.x, y>. | (x e. A /\ y e. B)}
4	2, 3	sseqtr4 2097	1 |- {<.x, y>. | ((x e. A /\ y e. B) /\ ph)} (_ (A X. B)

Syntax hints:   /\ wa 223   e. wcel 960   (_ wss 2050  {copab 2671   X. cxp 3174

This theorem is referenced by:  dmoprabss 4009  ecopoprdm 4315  ecopoprsym 4316  ecopoprtrn 4317  enqex 5060  ltrelpq 5063  ltrelpr 5113  enrex 5190  ltrelsr 5192  ltrelre 5264  lmfval 7922  bcthlem12 8007  bcthlem15 8010  dmhmph 10518  rnhmph 10519

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-opab 2672  df-xp 3190

Copyright terms: Public domain