Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  opcon3b Unicode version

Theorem opcon3b 29386
Description: Contraposition law for orthoposets. (chcon3i 22045 analog.) (Contributed by NM, 8-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
opoccl.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
opoccl.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
Assertion
Ref Expression
opcon3b  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  =  Y  <-> 
(  ._|_  `  Y )  =  (  ._|_  `  X
) ) )

Proof of Theorem opcon3b
StepHypRef Expression
1 fveq2 5525 . . 3  |-  ( Y  =  X  ->  (  ._|_  `  Y )  =  (  ._|_  `  X ) )
21eqcoms 2286 . 2  |-  ( X  =  Y  ->  (  ._|_  `  Y )  =  (  ._|_  `  X ) )
3 fveq2 5525 . . . 4  |-  ( ( 
._|_  `  X )  =  (  ._|_  `  Y )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) )
43eqcoms 2286 . . 3  |-  ( ( 
._|_  `  Y )  =  (  ._|_  `  X )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) )
5 opoccl.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  K
)
6 opoccl.o . . . . . 6  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
75, 6opococ 29385 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  X )
873adant3 975 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  X )
95, 6opococ 29385 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OP  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  =  Y )
1093adant2 974 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  =  Y )
118, 10eqeq12d 2297 . . 3  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  <-> 
X  =  Y ) )
124, 11syl5ib 210 . 2  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  Y
)  =  (  ._|_  `  X )  ->  X  =  Y ) )
132, 12impbid2 195 1  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  =  Y  <-> 
(  ._|_  `  Y )  =  (  ._|_  `  X
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   ` cfv 5255   Basecbs 13148   occoc 13216   OPcops 29362
This theorem is referenced by:  opcon2b  29387  omllaw4  29436  cmtbr2N  29443  cvrcmp2  29474  lhpmod2i2  30227  lhpmod6i1  30228
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-nul 4149
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-iota 5219  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oposet 29366
  Copyright terms: Public domain W3C validator