Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  opcon3b Structured version   Unicode version

Theorem opcon3b 29931
Description: Contraposition law for orthoposets. (chcon3i 22960 analog.) (Contributed by NM, 8-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
opoccl.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
opoccl.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
Assertion
Ref Expression
opcon3b  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  =  Y  <-> 
(  ._|_  `  Y )  =  (  ._|_  `  X
) ) )

Proof of Theorem opcon3b
StepHypRef Expression
1 fveq2 5720 . . 3  |-  ( Y  =  X  ->  (  ._|_  `  Y )  =  (  ._|_  `  X ) )
21eqcoms 2438 . 2  |-  ( X  =  Y  ->  (  ._|_  `  Y )  =  (  ._|_  `  X ) )
3 fveq2 5720 . . . 4  |-  ( ( 
._|_  `  X )  =  (  ._|_  `  Y )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) )
43eqcoms 2438 . . 3  |-  ( ( 
._|_  `  Y )  =  (  ._|_  `  X )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) )
5 opoccl.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  K
)
6 opoccl.o . . . . . 6  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
75, 6opococ 29930 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  X )
873adant3 977 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  X )
95, 6opococ 29930 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OP  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  =  Y )
1093adant2 976 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  =  Y )
118, 10eqeq12d 2449 . . 3  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  <-> 
X  =  Y ) )
124, 11syl5ib 211 . 2  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  Y
)  =  (  ._|_  `  X )  ->  X  =  Y ) )
132, 12impbid2 196 1  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  =  Y  <-> 
(  ._|_  `  Y )  =  (  ._|_  `  X
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   ` cfv 5446   Basecbs 13461   occoc 13529   OPcops 29907
This theorem is referenced by:  opcon2b  29932  omllaw4  29981  cmtbr2N  29988  cvrcmp2  30019  lhpmod2i2  30772  lhpmod6i1  30773
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-nul 4330
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-iota 5410  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oposet 29911
  Copyright terms: Public domain W3C validator