MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opelcnv Structured version   Unicode version

Theorem opelcnv 5054
Description: Ordered-pair membership in converse. (Contributed by NM, 13-Aug-1995.)
Hypotheses
Ref Expression
opelcnv.1  |-  A  e. 
_V
opelcnv.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
opelcnv  |-  ( <. A ,  B >.  e.  `' R  <->  <. B ,  A >.  e.  R )

Proof of Theorem opelcnv
StepHypRef Expression
1 opelcnv.1 . 2  |-  A  e. 
_V
2 opelcnv.2 . 2  |-  B  e. 
_V
3 opelcnvg 5052 . 2  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( <. A ,  B >.  e.  `' R  <->  <. B ,  A >.  e.  R ) )
41, 2, 3mp2an 654 1  |-  ( <. A ,  B >.  e.  `' R  <->  <. B ,  A >.  e.  R )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    e. wcel 1725   _Vcvv 2956   <.cop 3817   `'ccnv 4877
This theorem is referenced by:  cnvopab  5274  cnv0  5275  cnvdif  5278  dfrel2  5321  cnvcnvsn  5347  cnvresima  5359  dfco2  5369  cnviin  5409  fcnvres  5620  cnvf1olem  6444  dmtpos  6491  dftpos4  6498  tpostpos  6499  brsdom2  7231  fsumcom2  12558  gsumcom2  15549  metustsymOLD  18591  metustsym  18592  fprodcom2  25308  cnvco1  25383  cnvco2  25384
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pr 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-rab 2714  df-v 2958  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-br 4213  df-opab 4267  df-cnv 4886
  Copyright terms: Public domain W3C validator