Theorem opelcnvg 3296

Description: Ordered-pair membership in converse.

Assertion

Ref	Expression
opelcnvg	|- ((A e. C /\ B e. D) -> (<.A, B>. e. `'R <-> <.B, A>. e. R))

Proof of Theorem opelcnvg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 2623	. . . 4 |- (x = A -> (yRx <-> yRA))
2		breq1 2622	. . . 4 |- (y = B -> (yRA <-> BRA))
3	1, 2	opelopabg 2817	. . 3 |- ((A e. C /\ B e. D) -> (<.A, B>. e. {<.x, y>. | yRx} <-> BRA))
4		df-cnv 3186	. . . 4 |- `'R = {<.x, y>. | yRx}
5	4	eleq2i 1538	. . 3 |- (<.A, B>. e. `'R <-> <.A, B>. e. {<.x, y>. | yRx})
6	3, 5	syl5bb 532	. 2 |- ((A e. C /\ B e. D) -> (<.A, B>. e. `'R <-> BRA))
7		df-br 2620	. 2 |- (BRA <-> <.B, A>. e. R)
8	6, 7	syl6bb 536	1 |- ((A e. C /\ B e. D) -> (<.A, B>. e. `'R <-> <.B, A>. e. R))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   e. wcel 958  <.cop 2411   class class class wbr 2619  {copab 2666  `'ccnv 3169

This theorem is referenced by:  brcnvg 3297  opelcnv 3298  fvimacnv 3805  xrlenltt 5501

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-br 2620  df-opab 2667  df-cnv 3186

Copyright terms: Public domain