Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opeliunxp Structured version   Unicode version

Theorem opeliunxp 4929
 Description: Membership in a union of cross products. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
opeliunxp

Proof of Theorem opeliunxp
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-iun 4095 . . 3
21eleq2i 2500 . 2
3 opex 4427 . . 3
4 df-rex 2711 . . . . 5
5 nfv 1629 . . . . . 6
6 nfs1v 2182 . . . . . . 7
7 nfcv 2572 . . . . . . . . 9
8 nfcsb1v 3283 . . . . . . . . 9
97, 8nfxp 4904 . . . . . . . 8
109nfcri 2566 . . . . . . 7
116, 10nfan 1846 . . . . . 6
12 sbequ12 1944 . . . . . . 7
13 sneq 3825 . . . . . . . . 9
14 csbeq1a 3259 . . . . . . . . 9
1513, 14xpeq12d 4903 . . . . . . . 8
1615eleq2d 2503 . . . . . . 7
1712, 16anbi12d 692 . . . . . 6
185, 11, 17cbvex 1983 . . . . 5
194, 18bitri 241 . . . 4
20 eleq1 2496 . . . . . 6
2120anbi2d 685 . . . . 5
2221exbidv 1636 . . . 4
2319, 22syl5bb 249 . . 3
243, 23elab 3082 . 2
25 opelxp 4908 . . . . . 6
2625anbi2i 676 . . . . 5
27 an12 773 . . . . 5
28 elsn 3829 . . . . . . 7
29 equcom 1692 . . . . . . 7
3028, 29bitri 241 . . . . . 6
3130anbi1i 677 . . . . 5
3226, 27, 313bitri 263 . . . 4
3332exbii 1592 . . 3
34 vex 2959 . . . 4
35 sbequ12r 1945 . . . . 5
3614equcoms 1693 . . . . . . 7
3736eqcomd 2441 . . . . . 6
3837eleq2d 2503 . . . . 5
3935, 38anbi12d 692 . . . 4
4034, 39ceqsexv 2991 . . 3
4133, 40bitri 241 . 2
422, 24, 413bitri 263 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wb 177   wa 359  wex 1550   wceq 1652  wsb 1658   wcel 1725  cab 2422  wrex 2706  csb 3251  csn 3814  cop 3817  ciun 4093   cxp 4876 This theorem is referenced by:  eliunxp  5012  opeliunxp2  5013  gsum2d2lem  15547  gsum2d2  15548  gsumcom2  15549  dprdval  15561  ptbasfi  17613  cnextfun  18095  cnextfvval  18096  cnextf  18097  dvbsss  19789 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pr 4403 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-iun 4095  df-opab 4267  df-xp 4884
 Copyright terms: Public domain W3C validator