Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opelopabsb Structured version   Unicode version

Theorem opelopabsb 4467
 Description: The law of concretion in terms of substitutions. (Contributed by NM, 30-Sep-2002.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Nov-2016.)
Assertion
Ref Expression
opelopabsb
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   ()

Proof of Theorem opelopabsb
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2961 . . . . . . . . . 10
2 vex 2961 . . . . . . . . . 10
31, 2opnzi 4435 . . . . . . . . 9
4 simpl 445 . . . . . . . . . . 11
54eqcomd 2443 . . . . . . . . . 10
65necon3ai 2646 . . . . . . . . 9
73, 6ax-mp 8 . . . . . . . 8
87nex 1565 . . . . . . 7
98nex 1565 . . . . . 6
10 elopab 4464 . . . . . 6
119, 10mtbir 292 . . . . 5
12 eleq1 2498 . . . . 5
1311, 12mtbiri 296 . . . 4
1413necon2ai 2651 . . 3
15 opnz 4434 . . 3
1614, 15sylib 190 . 2
17 sbcex 3172 . . 3
18 spesbc 3244 . . . 4
19 sbcex 3172 . . . . 5
2019exlimiv 1645 . . . 4
2118, 20syl 16 . . 3
2217, 21jca 520 . 2
23 opeq1 3986 . . . . 5
2423eleq1d 2504 . . . 4
25 dfsbcq2 3166 . . . 4
2624, 25bibi12d 314 . . 3
27 opeq2 3987 . . . . 5
2827eleq1d 2504 . . . 4
29 dfsbcq2 3166 . . . . 5
3029sbcbidv 3217 . . . 4
3128, 30bibi12d 314 . . 3
32 nfopab1 4276 . . . . . 6
3332nfel2 2586 . . . . 5
34 nfs1v 2184 . . . . 5
3533, 34nfbi 1857 . . . 4
36 opeq1 3986 . . . . . 6
3736eleq1d 2504 . . . . 5
38 sbequ12 1945 . . . . 5
3937, 38bibi12d 314 . . . 4
40 nfopab2 4277 . . . . . . 7
4140nfel2 2586 . . . . . 6
42 nfs1v 2184 . . . . . 6
4341, 42nfbi 1857 . . . . 5
44 opeq2 3987 . . . . . . 7
4544eleq1d 2504 . . . . . 6
46 sbequ12 1945 . . . . . 6
4745, 46bibi12d 314 . . . . 5
48 opabid 4463 . . . . 5
4943, 47, 48chvar 1969 . . . 4
5035, 39, 49chvar 1969 . . 3
5126, 31, 50vtocl2g 3017 . 2
5216, 22, 51pm5.21nii 344 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wb 178   wa 360  wex 1551   wceq 1653  wsb 1659   wcel 1726   wne 2601  cvv 2958  wsbc 3163  c0 3630  cop 3819  copab 4267 This theorem is referenced by:  brabsb  4468  opelopabaf  4480  opelopabf  4481  difopab  5008  isarep1  5534  opelopabgf  28073 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pr 4405 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-opab 4269
 Copyright terms: Public domain W3C validator