MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opelreal Unicode version

Theorem opelreal 8752
Description: Ordered pair membership in class of real subset of complex numbers. (Contributed by NM, 22-Feb-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
opelreal  |-  ( <. A ,  0R >.  e.  RR  <->  A  e.  R. )

Proof of Theorem opelreal
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . 2  |-  0R  =  0R
2 df-r 8747 . . . 4  |-  RR  =  ( R.  X.  { 0R } )
32eleq2i 2347 . . 3  |-  ( <. A ,  0R >.  e.  RR  <->  <. A ,  0R >.  e.  ( R.  X.  { 0R } ) )
4 opelxp 4719 . . 3  |-  ( <. A ,  0R >.  e.  ( R.  X.  { 0R } )  <->  ( A  e.  R.  /\  0R  e.  { 0R } ) )
5 0r 8702 . . . . . 6  |-  0R  e.  R.
65elexi 2797 . . . . 5  |-  0R  e.  _V
76elsnc 3663 . . . 4  |-  ( 0R  e.  { 0R }  <->  0R  =  0R )
87anbi2i 675 . . 3  |-  ( ( A  e.  R.  /\  0R  e.  { 0R }
)  <->  ( A  e. 
R.  /\  0R  =  0R ) )
93, 4, 83bitri 262 . 2  |-  ( <. A ,  0R >.  e.  RR  <->  ( A  e.  R.  /\  0R  =  0R )
)
101, 9mpbiran2 885 1  |-  ( <. A ,  0R >.  e.  RR  <->  A  e.  R. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   {csn 3640   <.cop 3643    X. cxp 4687   R.cnr 8489   0Rc0r 8490   RRcr 8736
This theorem is referenced by:  ltresr  8762  ax1cn  8771  axaddrcl  8774  axmulrcl  8776  axrnegex  8784  axrrecex  8785  axcnre  8786  axpre-sup  8791
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-ec 6662  df-qs 6666  df-ni 8496  df-pli 8497  df-mi 8498  df-lti 8499  df-plpq 8532  df-mpq 8533  df-ltpq 8534  df-enq 8535  df-nq 8536  df-erq 8537  df-plq 8538  df-mq 8539  df-1nq 8540  df-rq 8541  df-ltnq 8542  df-np 8605  df-1p 8606  df-enr 8681  df-nr 8682  df-0r 8686  df-r 8747
  Copyright terms: Public domain W3C validator