MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opelreal Structured version   Unicode version

Theorem opelreal 9010
Description: Ordered pair membership in class of real subset of complex numbers. (Contributed by NM, 22-Feb-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
opelreal  |-  ( <. A ,  0R >.  e.  RR  <->  A  e.  R. )

Proof of Theorem opelreal
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . 2  |-  0R  =  0R
2 df-r 9005 . . . 4  |-  RR  =  ( R.  X.  { 0R } )
32eleq2i 2502 . . 3  |-  ( <. A ,  0R >.  e.  RR  <->  <. A ,  0R >.  e.  ( R.  X.  { 0R } ) )
4 opelxp 4911 . . 3  |-  ( <. A ,  0R >.  e.  ( R.  X.  { 0R } )  <->  ( A  e.  R.  /\  0R  e.  { 0R } ) )
5 0r 8960 . . . . . 6  |-  0R  e.  R.
65elexi 2967 . . . . 5  |-  0R  e.  _V
76elsnc 3839 . . . 4  |-  ( 0R  e.  { 0R }  <->  0R  =  0R )
87anbi2i 677 . . 3  |-  ( ( A  e.  R.  /\  0R  e.  { 0R }
)  <->  ( A  e. 
R.  /\  0R  =  0R ) )
93, 4, 83bitri 264 . 2  |-  ( <. A ,  0R >.  e.  RR  <->  ( A  e.  R.  /\  0R  =  0R )
)
101, 9mpbiran2 887 1  |-  ( <. A ,  0R >.  e.  RR  <->  A  e.  R. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   {csn 3816   <.cop 3819    X. cxp 4879   R.cnr 8747   0Rc0r 8748   RRcr 8994
This theorem is referenced by:  ltresr  9020  ax1cn  9029  axaddrcl  9032  axmulrcl  9034  axrnegex  9042  axrrecex  9043  axcnre  9044  axpre-sup  9049
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-omul 6732  df-er 6908  df-ec 6910  df-qs 6914  df-ni 8754  df-pli 8755  df-mi 8756  df-lti 8757  df-plpq 8790  df-mpq 8791  df-ltpq 8792  df-enq 8793  df-nq 8794  df-erq 8795  df-plq 8796  df-mq 8797  df-1nq 8798  df-rq 8799  df-ltnq 8800  df-np 8863  df-1p 8864  df-enr 8939  df-nr 8940  df-0r 8944  df-r 9005
  Copyright terms: Public domain W3C validator