Theorem opelxp 3214

Description: Ordered pair membership in a cross product.

Hypothesis

Ref	Expression
opelxp.1	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
opelxp	|- (<.A, B>. e. (C X. D) <-> (A e. C /\ B e. D))

Proof of Theorem opelxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxp1 3205	. 2 |- (<.A, B>. e. (C X. D) -> A e. C)
2		pm3.26 319	. 2 |- ((A e. C /\ B e. D) -> A e. C)
3		opeq1 2487	. . . 4 |- (z = A -> <.z, B>. = <.A, B>.)
4	3	eleq1d 1540	. . 3 |- (z = A -> (<.z, B>. e. (C X. D) <-> <.A, B>. e. (C X. D)))
5		eleq1 1534	. . . 4 |- (z = A -> (z e. C <-> A e. C))
6	5	anbi1d 617	. . 3 |- (z = A -> ((z e. C /\ B e. D) <-> (A e. C /\ B e. D)))
7		eqcom 1477	. . . . . . . . . . 11 |- (<.z, B>. = <.x, y>. <-> <.x, y>. = <.z, B>.)
8		visset 1813	. . . . . . . . . . . 12 |- x e. V
9		visset 1813	. . . . . . . . . . . 12 |- y e. V
10		opelxp.1	. . . . . . . . . . . 12 |- B e. V
11	8, 9, 10	opth 2787	. . . . . . . . . . 11 |- (<.x, y>. = <.z, B>. <-> (x = z /\ y = B))
12	7, 11	bitr 173	. . . . . . . . . 10 |- (<.z, B>. = <.x, y>. <-> (x = z /\ y = B))
13	12	anbi1i 481	. . . . . . . . 9 |- ((<.z, B>. = <.x, y>. /\ (x e. C /\ y e. D)) <-> ((x = z /\ y = B) /\ (x e. C /\ y e. D)))
14		an4 506	. . . . . . . . 9 |- (((x = z /\ y = B) /\ (x e. C /\ y e. D)) <-> ((x = z /\ x e. C) /\ (y = B /\ y e. D)))
15	13, 14	bitr 173	. . . . . . . 8 |- ((<.z, B>. = <.x, y>. /\ (x e. C /\ y e. D)) <-> ((x = z /\ x e. C) /\ (y = B /\ y e. D)))
16	15	exbii 1051	. . . . . . 7 |- (E.y(<.z, B>. = <.x, y>. /\ (x e. C /\ y e. D)) <-> E.y((x = z /\ x e. C) /\ (y = B /\ y e. D)))
17		19.42v 1308	. . . . . . 7 |- (E.y((x = z /\ x e. C) /\ (y = B /\ y e. D)) <-> ((x = z /\ x e. C) /\ E.y(y = B /\ y e. D)))
18	16, 17	bitr 173	. . . . . 6 |- (E.y(<.z, B>. = <.x, y>. /\ (x e. C /\ y e. D)) <-> ((x = z /\ x e. C) /\ E.y(y = B /\ y e. D)))
19	18	exbii 1051	. . . . 5 |- (E.xE.y(<.z, B>. = <.x, y>. /\ (x e. C /\ y e. D)) <-> E.x((x = z /\ x e. C) /\ E.y(y = B /\ y e. D)))
20		19.41v 1305	. . . . 5 |- (E.x((x = z /\ x e. C) /\ E.y(y = B /\ y e. D)) <-> (E.x(x = z /\ x e. C) /\ E.y(y = B /\ y e. D)))
21	19, 20	bitr 173	. . . 4 |- (E.xE.y(<.z, B>. = <.x, y>. /\ (x e. C /\ y e. D)) <-> (E.x(x = z /\ x e. C) /\ E.y(y = B /\ y e. D)))
22		elxp 3202	. . . 4 |- (<.z, B>. e. (C X. D) <-> E.xE.y(<.z, B>. = <.x, y>. /\ (x e. C /\ y e. D)))
23		df-clel 1472	. . . . 5 |- (z e. C <-> E.x(x = z /\ x e. C))
24		df-clel 1472	. . . . 5 |- (B e. D <-> E.y(y = B /\ y e. D))
25	23, 24	anbi12i 482	. . . 4 |- ((z e. C /\ B e. D) <-> (E.x(x = z /\ x e. C) /\ E.y(y = B /\ y e. D)))
26	21, 22, 25	3bitr4 183	. . 3 |- (<.z, B>. e. (C X. D) <-> (z e. C /\ B e. D))
27	4, 6, 26	vtoclbg 1848	. 2 |- (A e. C -> (<.A, B>. e. (C X. D) <-> (A e. C /\ B e. D)))
28	1, 2, 27	pm5.21nii 679	1 |- (<.A, B>. e. (C X. D) <-> (A e. C /\ B e. D))

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  Vcvv 1811  <.cop 2411   X. cxp 3168

This theorem is referenced by:  brxp 3215  opelxpg 3216  ralxp 3218  opthprc 3221  elxp3 3224  optocl 3235  relsn 3254  ssxp 3256  xpsspw 3257  inxp 3269  opelres 3372  resiexg 3396  dfima2 3405  cnvxp 3464  xpnz 3466  ssrnres 3481  relssdr 3513  opelf 3640  dff2 3817  dff3 3818  resoprab 4009  oprssdm 4042  curry1 4098  df1st2 4126  df2nd2 4127  brecop 4306  brecop2 4307  ecopoprdm 4309  eceqopreq 4313  xpdom2 4442  xpmapenlem4 4499  xpmapenlem5 4500  mapunen 4502  aceq5lem2 4736  ltpiord 5015  opelcn 5248  opelreal 5249  ruclem13 7522  infxpidmlem5 7556  infxpidmlem7 7558  xplmi 7973  bcthlem32 8030  nvvop 8228  stcat 10457

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-opab 2667  df-xp 3184

Copyright terms: Public domain