Theorem opelxpi 3217

Description: Ordered pair membership in a cross product (implication).

Assertion

Ref	Expression
opelxpi	|- ((A e. C /\ B e. D) -> <.A, B>. e. (C X. D))

Proof of Theorem opelxpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxpg 3216	. . 3 |- (B e. D -> (<.A, B>. e. (C X. D) <-> (A e. C /\ B e. D)))
2	1	biimprd 154	. 2 |- (B e. D -> ((A e. C /\ B e. D) -> <.A, B>. e. (C X. D)))
3	2	anabsi7 497	1 |- ((A e. C /\ B e. D) -> <.A, B>. e. (C X. D))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 958  <.cop 2411   X. cxp 3168

This theorem is referenced by:  opbrop 3238  onnev 3242  relsn 3254  oprabval3 4030  oprvalres 4033  foprrn 4035  fnoprvalrn 4038  oprvalconst2 4040  ecopqsi 4293  brecop 4306  eceqopreq 4313  th3q 4317  unidom 4808  addpiord 5012  mulpiord 5013  enqeceq 5047  1q 5057  addclpq 5058  mulclpq 5060  enreceq 5177  0r 5189  1r 5190  m1r 5191  addclsr 5192  mulclsr 5193  axaddopr 5265  axmulopr 5266  xrlenltt 5501  ruclem13 7522  cnmetdval 7902  remetdval 7908  xplmi 7973  xplm 7975  xpcn 7976  oprcn 7977  imsdval 8317  elo 10444  eloi 10659

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-opab 2667  df-xp 3184

Copyright terms: Public domain