Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ople1 Structured version   Unicode version

Theorem ople1 29989
Description: Any element is less than the orthoposet unit. (chss 22732 analog.) (Contributed by NM, 23-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
ople1.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
ople1.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
ople1.u  |-  .1.  =  ( 1. `  K )
Assertion
Ref Expression
ople1  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  X  .<_  .1.  )

Proof of Theorem ople1
StepHypRef Expression
1 ople1.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 ople1.u . . . 4  |-  .1.  =  ( 1. `  K )
31, 2op1cl 29983 . . 3  |-  ( K  e.  OP  ->  .1.  e.  B )
43adantr 452 . 2  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  .1.  e.  B )
5 opposet 29980 . . 3  |-  ( K  e.  OP  ->  K  e.  Poset )
6 ople1.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
71, 6, 2ple1 14473 . . 3  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  .1.  e.  B )  ->  X  .<_  .1.  )
85, 7syl3an1 1217 . 2  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  .1.  e.  B )  ->  X  .<_  .1.  )
94, 8mpd3an3 1280 1  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  X  .<_  .1.  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4212   ` cfv 5454   Basecbs 13469   lecple 13536   Posetcpo 14397   1.cp1 14467   OPcops 29970
This theorem is referenced by:  op1le  29990  glb0N  29991  opoc1  30000  ncvr1  30070  1cvrat  30273  pmap1N  30564  pol1N  30707  dih1  32084  dihjatc  32215
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-undef 6543  df-riota 6549  df-lub 14431  df-p1 14469  df-oposet 29974
  Copyright terms: Public domain W3C validator