Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ople1 Unicode version

Theorem ople1 30003
Description: Any element is less than the orthoposet unit. (chss 21825 analog.) (Contributed by NM, 23-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
ople1.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
ople1.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
ople1.u  |-  .1.  =  ( 1. `  K )
Assertion
Ref Expression
ople1  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  X  .<_  .1.  )

Proof of Theorem ople1
StepHypRef Expression
1 ople1.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 ople1.u . . . 4  |-  .1.  =  ( 1. `  K )
31, 2op1cl 29997 . . 3  |-  ( K  e.  OP  ->  .1.  e.  B )
43adantr 451 . 2  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  .1.  e.  B )
5 opposet 29994 . . 3  |-  ( K  e.  OP  ->  K  e.  Poset )
6 ople1.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
71, 6, 2ple1 14166 . . 3  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  .1.  e.  B )  ->  X  .<_  .1.  )
85, 7syl3an1 1215 . 2  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  .1.  e.  B )  ->  X  .<_  .1.  )
94, 8mpd3an3 1278 1  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  X  .<_  .1.  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   class class class wbr 4039   ` cfv 5271   Basecbs 13164   lecple 13231   Posetcpo 14090   1.cp1 14160   OPcops 29984
This theorem is referenced by:  op1le  30004  glb0N  30005  opoc1  30014  ncvr1  30084  1cvrat  30287  pmap1N  30578  pol1N  30721  dih1  32098  dihjatc  32229
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-undef 6314  df-riota 6320  df-lub 14124  df-p1 14162  df-oposet 29988
  Copyright terms: Public domain W3C validator