Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  opltcon1b Unicode version

Theorem opltcon1b 29464
Description: Contraposition law for strict ordering in orthoposets. (chpsscon1 22197 analog.) (Contributed by NM, 5-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
opltcon3.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
opltcon3.s  |-  .<  =  ( lt `  K )
opltcon3.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
Assertion
Ref Expression
opltcon1b  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  X
)  .<  Y  <->  (  ._|_  `  Y )  .<  X ) )

Proof of Theorem opltcon1b
StepHypRef Expression
1 opltcon3.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 opltcon3.o . . . . 5  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
31, 2opoccl 29453 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X )  e.  B )
433adant3 975 . . 3  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X )  e.  B )
5 opltcon3.s . . . 4  |-  .<  =  ( lt `  K )
61, 5, 2opltcon3b 29463 . . 3  |-  ( ( K  e.  OP  /\  (  ._|_  `  X )  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
(  ._|_  `  X )  .<  Y  <->  (  ._|_  `  Y
)  .<  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) ) )
74, 6syld3an2 1229 . 2  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  X
)  .<  Y  <->  (  ._|_  `  Y )  .<  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) ) ) )
81, 2opococ 29454 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  X )
983adant3 975 . . 3  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  X )
109breq2d 4116 . 2  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  Y
)  .<  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  <-> 
(  ._|_  `  Y )  .<  X ) )
117, 10bitrd 244 1  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  X
)  .<  Y  <->  (  ._|_  `  Y )  .<  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ w3a 934    = wceq 1642    e. wcel 1710   class class class wbr 4104   ` cfv 5337   Basecbs 13245   occoc 13313   ltcplt 14174   OPcops 29431
This theorem is referenced by:  cvrcon3b  29536
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pr 4295
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3909  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-id 4391  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fv 5345  df-ov 5948  df-poset 14179  df-plt 14191  df-oposet 29435
  Copyright terms: Public domain W3C validator