Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  opltcon2b Structured version   Unicode version

Theorem opltcon2b 30005
Description: Contraposition law for strict ordering in orthoposets. (chsscon2 23005 analog.) (Contributed by NM, 5-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
opltcon3.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
opltcon3.s  |-  .<  =  ( lt `  K )
opltcon3.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
Assertion
Ref Expression
opltcon2b  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<  (  ._|_  `  Y )  <->  Y  .<  ( 
._|_  `  X ) ) )

Proof of Theorem opltcon2b
StepHypRef Expression
1 opltcon3.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 opltcon3.o . . . . 5  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
31, 2opoccl 29993 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  Y )  e.  B )
433adant2 977 . . 3  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  Y )  e.  B )
5 opltcon3.s . . . 4  |-  .<  =  ( lt `  K )
61, 5, 2opltcon3b 30003 . . 3  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  (  ._|_  `  Y )  e.  B )  ->  ( X  .<  (  ._|_  `  Y
)  <->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) 
.<  (  ._|_  `  X
) ) )
74, 6syld3an3 1230 . 2  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<  (  ._|_  `  Y )  <->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  .<  (  ._|_  `  X ) ) )
81, 2opococ 29994 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  =  Y )
983adant2 977 . . 3  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  =  Y )
109breq1d 4223 . 2  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) 
.<  (  ._|_  `  X
)  <->  Y  .<  (  ._|_  `  X ) ) )
117, 10bitrd 246 1  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<  (  ._|_  `  Y )  <->  Y  .<  ( 
._|_  `  X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   class class class wbr 4213   ` cfv 5455   Basecbs 13470   occoc 13538   ltcplt 14399   OPcops 29971
This theorem is referenced by:  cvrcon3b  30076
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pr 4404
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2711  df-rex 2712  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3630  df-if 3741  df-sn 3821  df-pr 3822  df-op 3824  df-uni 4017  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-id 4499  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fv 5463  df-ov 6085  df-poset 14404  df-plt 14416  df-oposet 29975
  Copyright terms: Public domain W3C validator