Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  opltcon2b Unicode version

Theorem opltcon2b 30018
Description: Contraposition law for strict ordering in orthoposets. (chsscon2 22097 analog.) (Contributed by NM, 5-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
opltcon3.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
opltcon3.s  |-  .<  =  ( lt `  K )
opltcon3.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
Assertion
Ref Expression
opltcon2b  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<  (  ._|_  `  Y )  <->  Y  .<  ( 
._|_  `  X ) ) )

Proof of Theorem opltcon2b
StepHypRef Expression
1 opltcon3.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 opltcon3.o . . . . 5  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
31, 2opoccl 30006 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  Y )  e.  B )
433adant2 974 . . 3  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  Y )  e.  B )
5 opltcon3.s . . . 4  |-  .<  =  ( lt `  K )
61, 5, 2opltcon3b 30016 . . 3  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  (  ._|_  `  Y )  e.  B )  ->  ( X  .<  (  ._|_  `  Y
)  <->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) 
.<  (  ._|_  `  X
) ) )
74, 6syld3an3 1227 . 2  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<  (  ._|_  `  Y )  <->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  .<  (  ._|_  `  X ) ) )
81, 2opococ 30007 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  =  Y )
983adant2 974 . . 3  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  =  Y )
109breq1d 4049 . 2  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) 
.<  (  ._|_  `  X
)  <->  Y  .<  (  ._|_  `  X ) ) )
117, 10bitrd 244 1  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<  (  ._|_  `  Y )  <->  Y  .<  ( 
._|_  `  X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   class class class wbr 4039   ` cfv 5271   Basecbs 13164   occoc 13232   ltcplt 14091   OPcops 29984
This theorem is referenced by:  cvrcon3b  30089
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fv 5279  df-ov 5877  df-poset 14096  df-plt 14108  df-oposet 29988
  Copyright terms: Public domain W3C validator