Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  opltcon3b Structured version   Unicode version

Theorem opltcon3b 30064
Description: Contraposition law for strict ordering in orthoposets. (chpsscon3 23007 analog.) (Contributed by NM, 4-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
opltcon3.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
opltcon3.s  |-  .<  =  ( lt `  K )
opltcon3.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
Assertion
Ref Expression
opltcon3b  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<  Y  <->  (  ._|_  `  Y )  .<  (  ._|_  `  X ) ) )

Proof of Theorem opltcon3b
StepHypRef Expression
1 opltcon3.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 eqid 2438 . . . 4  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
3 opltcon3.o . . . 4  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
41, 2, 3oplecon3b 30060 . . 3  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X ( le
`  K ) Y  <-> 
(  ._|_  `  Y )
( le `  K
) (  ._|_  `  X
) ) )
51, 2, 3oplecon3b 30060 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OP  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  ( Y ( le
`  K ) X  <-> 
(  ._|_  `  X )
( le `  K
) (  ._|_  `  Y
) ) )
653com23 1160 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( Y ( le
`  K ) X  <-> 
(  ._|_  `  X )
( le `  K
) (  ._|_  `  Y
) ) )
76notbid 287 . . 3  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( -.  Y ( le `  K ) X  <->  -.  (  ._|_  `  X ) ( le
`  K ) ( 
._|_  `  Y ) ) )
84, 7anbi12d 693 . 2  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X ( le `  K ) Y  /\  -.  Y
( le `  K
) X )  <->  ( (  ._|_  `  Y ) ( le `  K ) (  ._|_  `  X )  /\  -.  (  ._|_  `  X ) ( le
`  K ) ( 
._|_  `  Y ) ) ) )
9 opposet 30042 . . 3  |-  ( K  e.  OP  ->  K  e.  Poset )
10 opltcon3.s . . . 4  |-  .<  =  ( lt `  K )
111, 2, 10pltval3 14426 . . 3  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<  Y  <->  ( X
( le `  K
) Y  /\  -.  Y ( le `  K ) X ) ) )
129, 11syl3an1 1218 . 2  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<  Y  <->  ( X
( le `  K
) Y  /\  -.  Y ( le `  K ) X ) ) )
1393ad2ant1 979 . . 3  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  Poset )
141, 3opoccl 30054 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  Y )  e.  B )
15143adant2 977 . . 3  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  Y )  e.  B )
161, 3opoccl 30054 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X )  e.  B )
17163adant3 978 . . 3  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X )  e.  B )
181, 2, 10pltval3 14426 . . 3  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (  ._|_  `  Y )  e.  B  /\  (  ._|_  `  X )  e.  B
)  ->  ( (  ._|_  `  Y )  .< 
(  ._|_  `  X )  <->  ( (  ._|_  `  Y ) ( le `  K
) (  ._|_  `  X
)  /\  -.  (  ._|_  `  X ) ( le `  K ) (  ._|_  `  Y ) ) ) )
1913, 15, 17, 18syl3anc 1185 . 2  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  Y
)  .<  (  ._|_  `  X
)  <->  ( (  ._|_  `  Y ) ( le
`  K ) ( 
._|_  `  X )  /\  -.  (  ._|_  `  X
) ( le `  K ) (  ._|_  `  Y ) ) ) )
208, 12, 193bitr4d 278 1  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<  Y  <->  (  ._|_  `  Y )  .<  (  ._|_  `  X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   class class class wbr 4214   ` cfv 5456   Basecbs 13471   lecple 13538   occoc 13539   Posetcpo 14399   ltcplt 14400   OPcops 30032
This theorem is referenced by:  opltcon1b  30065  opltcon2b  30066  cvrcon3b  30137  1cvratex  30332  lhprelat3N  30899
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pr 4405
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fv 5464  df-ov 6086  df-poset 14405  df-plt 14417  df-oposet 30036
  Copyright terms: Public domain W3C validator