MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opncld Unicode version

Theorem opncld 17020
Description: The complement of an open set is closed. (Contributed by NM, 6-Oct-2006.)
Hypothesis
Ref Expression
iscld.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
opncld  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  J )  ->  ( X  \  S
)  e.  ( Clsd `  J ) )

Proof of Theorem opncld
StepHypRef Expression
1 simpr 448 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  J )  ->  S  e.  J )
2 iscld.1 . . . 4  |-  X  = 
U. J
32eltopss 16903 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  J )  ->  S  C_  X )
42isopn2 17019 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( S  e.  J  <->  ( X  \  S )  e.  ( Clsd `  J
) ) )
53, 4syldan 457 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  J )  ->  ( S  e.  J  <->  ( X  \  S )  e.  ( Clsd `  J
) ) )
61, 5mpbid 202 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  J )  ->  ( X  \  S
)  e.  ( Clsd `  J ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    \ cdif 3260    C_ wss 3263   U.cuni 3957   ` cfv 5394   Topctop 16881   Clsdccld 17003
This theorem is referenced by:  iincld  17026  iuncld  17032  clsval2  17037  elcls  17060  opncldf1  17071  opncldf2  17072  restcld  17158  iscncl  17255  pnrmopn  17329  isnrm2  17344  isnrm3  17345  isreg2  17363  hauscmplem  17391  conndisj  17400  hausllycmp  17478  1stckgen  17507  txkgen  17605  qtoprest  17670  qtopcmap  17672  icopnfcld  18673  lebnumlem1  18857  bcth3  19153  sxbrsigalem3  24416  pconcon  24697  cvmscld  24739  cldbnd  26020
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fv 5402  df-top 16886  df-cld 17006
  Copyright terms: Public domain W3C validator