MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opncld Unicode version

Theorem opncld 16786
Description: The complement of an open set is closed. (Contributed by NM, 6-Oct-2006.)
Hypothesis
Ref Expression
iscld.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
opncld  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  J )  ->  ( X  \  S
)  e.  ( Clsd `  J ) )

Proof of Theorem opncld
StepHypRef Expression
1 simpr 447 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  J )  ->  S  e.  J )
2 iscld.1 . . . 4  |-  X  = 
U. J
32eltopss 16669 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  J )  ->  S  C_  X )
42isopn2 16785 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( S  e.  J  <->  ( X  \  S )  e.  ( Clsd `  J
) ) )
53, 4syldan 456 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  J )  ->  ( S  e.  J  <->  ( X  \  S )  e.  ( Clsd `  J
) ) )
61, 5mpbid 201 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  J )  ->  ( X  \  S
)  e.  ( Clsd `  J ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    \ cdif 3162    C_ wss 3165   U.cuni 3843   ` cfv 5271   Topctop 16647   Clsdccld 16769
This theorem is referenced by:  iincld  16792  iuncld  16798  clsval2  16803  elcls  16826  opncldf1  16837  opncldf2  16838  restcld  16919  iscncl  17014  pnrmopn  17087  isnrm2  17102  isnrm3  17103  isreg2  17121  hauscmplem  17149  conndisj  17158  hausllycmp  17236  1stckgen  17265  txkgen  17362  qtoprest  17424  qtopcmap  17426  icopnfcld  18293  lebnumlem1  18475  bcth3  18769  pconcon  23777  cvmscld  23819  cldbnd  26347
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fv 5279  df-top 16652  df-cld 16772
  Copyright terms: Public domain W3C validator