Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opncldf1 Structured version   Unicode version

Theorem opncldf1 17150
 Description: A bijection useful for converting statements about open sets to statements about closed sets and vice versa. (Contributed by Jeff Hankins, 27-Aug-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
opncldf.1
opncldf.2
Assertion
Ref Expression
opncldf1
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem opncldf1
StepHypRef Expression
1 opncldf.2 . 2
2 opncldf.1 . . 3
32opncld 17099 . 2
42cldopn 17097 . . 3
62cldss 17095 . . . . . . 7
76ad2antll 711 . . . . . 6
8 dfss4 3577 . . . . . 6
97, 8sylib 190 . . . . 5
109eqcomd 2443 . . . 4
11 difeq2 3461 . . . . 5
1211eqeq2d 2449 . . . 4
1310, 12syl5ibrcom 215 . . 3
142eltopss 16982 . . . . . . 7
1514adantrr 699 . . . . . 6
16 dfss4 3577 . . . . . 6
1715, 16sylib 190 . . . . 5
1817eqcomd 2443 . . . 4
19 difeq2 3461 . . . . 5
2019eqeq2d 2449 . . . 4
2118, 20syl5ibrcom 215 . . 3
2213, 21impbid 185 . 2
231, 3, 5, 22f1ocnv2d 6297 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   wceq 1653   wcel 1726   cdif 3319   wss 3322  cuni 4017   cmpt 4268  ccnv 4879  wf1o 5455  cfv 5456  ctop 16960  ccld 17082 This theorem is referenced by:  opncldf3  17152  cmpfi  17473 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-top 16965  df-cld 17085
 Copyright terms: Public domain W3C validator