Theorem opnm 7860

Description: The base set of a metric space is open. Part of Theorem T1 of [Kreyszig] p. 19.

Hypotheses

Ref	Expression
opnfval.1	|- X = dom dom D
opnfval.2	|- J = (Open` D)

Assertion

Ref	Expression
opnm	|- (D e. Met -> X e. J)

Proof of Theorem opnm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 5435	. . . . . 6 |- 1 e. RR
2		lt01 5680	. . . . . 6 |- 0 < 1
3	1, 2	pm3.2i 285	. . . . 5 |- (1 e. RR /\ 0 < 1)
4		eleq2 1535	. . . . . . . 8 |- (y = (x( ball ` D)1) -> (x e. y <-> x e. (x( ball ` D)1)))
5		sseq1 2082	. . . . . . . 8 |- (y = (x( ball ` D)1) -> (y (_ X <-> (x( ball ` D)1) (_ X))
6	4, 5	anbi12d 628	. . . . . . 7 |- (y = (x( ball ` D)1) -> ((x e. y /\ y (_ X) <-> (x e. (x( ball ` D)1) /\ (x( ball ` D)1) (_ X)))
7	6	rcla4ev 1877	. . . . . 6 |- (((x( ball ` D)1) e. ran ( ball ` D) /\ (x e. (x( ball ` D)1) /\ (x( ball ` D)1) (_ X)) -> E.y e. ran ( ball ` D)(x e. y /\ y (_ X))
8		opnfval.1	. . . . . . 7 |- X = dom dom D
9	8	blelrn 7848	. . . . . 6 |- (((D e. Met /\ x e. X) /\ (1 e. RR /\ 0 < 1)) -> (x( ball ` D)1) e. ran ( ball ` D))
10	8	blcntr 7845	. . . . . . 7 |- (((D e. Met /\ x e. X) /\ (1 e. RR /\ 0 < 1)) -> x e. (x( ball ` D)1))
11	8	blssm 7850	. . . . . . 7 |- (((D e. Met /\ x e. X) /\ (1 e. RR /\ 0 < 1)) -> (x( ball ` D)1) (_ X)
12	10, 11	jca 288	. . . . . 6 |- (((D e. Met /\ x e. X) /\ (1 e. RR /\ 0 < 1)) -> (x e. (x( ball ` D)1) /\ (x( ball ` D)1) (_ X))
13	7, 9, 12	sylanc 471	. . . . 5 |- (((D e. Met /\ x e. X) /\ (1 e. RR /\ 0 < 1)) -> E.y e. ran ( ball ` D)(x e. y /\ y (_ X))
14	3, 13	mpan2 696	. . . 4 |- ((D e. Met /\ x e. X) -> E.y e. ran ( ball ` D)(x e. y /\ y (_ X))
15	14	r19.21aiva 1714	. . 3 |- (D e. Met -> A.x e. X E.y e. ran ( ball ` D)(x e. y /\ y (_ X))
16		ssid 2080	. . 3 |- X (_ X
17	15, 16	jctil 292	. 2 |- (D e. Met -> (X (_ X /\ A.x e. X E.y e. ran ( ball ` D)(x e. y /\ y (_ X)))
18		opnfval.2	. . 3 |- J = (Open` D)
19	8, 18	isopn 7859	. 2 |- (D e. Met -> (X e. J <-> (X (_ X /\ A.x e. X E.y e. ran ( ball ` D)(x e. y /\ y (_ X))))
20	17, 19	mpbird 196	1 |- (D e. Met -> X e. J)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  E.wrex 1646   (_ wss 2047   class class class wbr 2619  dom cdm 3170  ran crn 3171  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  RRcr 5233  0cc0 5234  1c1 5235   < clt 5486  Metcme 7789   ball cbl 7791  Opencopn 7792

This theorem is referenced by:  uniopn 7861

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-met 7793  df-bl 7795  df-opn 7796

Copyright terms: Public domain