MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opnmbl Structured version   Unicode version

Theorem opnmbl 19484
Description: All open sets are measurable. This proof, via dyadmbl 19482 and uniioombl 19471, shows that it is possible to avoid choice for measurability of open sets and hence continuous functions, which extends the choice-free consequences of Lebesgue measure considerably farther than would otherwise be possible. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
opnmbl  |-  ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  ->  A  e.  dom  vol )

Proof of Theorem opnmbl
Dummy variables  x  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6080 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  (
x  /  ( 2 ^ y ) )  =  ( z  / 
( 2 ^ y
) ) )
2 oveq1 6080 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  (
x  +  1 )  =  ( z  +  1 ) )
32oveq1d 6088 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  (
( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) )  =  ( ( z  +  1 )  / 
( 2 ^ y
) ) )
41, 3opeq12d 3984 . . 3  |-  ( x  =  z  ->  <. (
x  /  ( 2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  / 
( 2 ^ y
) ) >.  =  <. ( z  /  ( 2 ^ y ) ) ,  ( ( z  +  1 )  / 
( 2 ^ y
) ) >. )
5 oveq2 6081 . . . . 5  |-  ( y  =  w  ->  (
2 ^ y )  =  ( 2 ^ w ) )
65oveq2d 6089 . . . 4  |-  ( y  =  w  ->  (
z  /  ( 2 ^ y ) )  =  ( z  / 
( 2 ^ w
) ) )
75oveq2d 6089 . . . 4  |-  ( y  =  w  ->  (
( z  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) )  =  ( ( z  +  1 )  / 
( 2 ^ w
) ) )
86, 7opeq12d 3984 . . 3  |-  ( y  =  w  ->  <. (
z  /  ( 2 ^ y ) ) ,  ( ( z  +  1 )  / 
( 2 ^ y
) ) >.  =  <. ( z  /  ( 2 ^ w ) ) ,  ( ( z  +  1 )  / 
( 2 ^ w
) ) >. )
94, 8cbvmpt2v 6144 . 2  |-  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN0  |->  <. (
x  /  ( 2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  / 
( 2 ^ y
) ) >. )  =  ( z  e.  ZZ ,  w  e. 
NN0  |->  <. ( z  / 
( 2 ^ w
) ) ,  ( ( z  +  1 )  /  ( 2 ^ w ) )
>. )
109opnmbllem 19483 1  |-  ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  ->  A  e.  dom  vol )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1725   <.cop 3809   dom cdm 4870   ran crn 4871   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    e. cmpt2 6075   1c1 8981    + caddc 8983    / cdiv 9667   2c2 10039   NN0cn0 10211   ZZcz 10272   (,)cioo 10906   ^cexp 11372   topGenctg 13655   volcvol 19350
This theorem is referenced by:  subopnmbl  19486  mblfinlem2  26208  mblfinlem3  26209  ismblfin  26210
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7586  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057  ax-pre-sup 9058
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-disj 4175  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-omul 6721  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7469  df-card 7816  df-acn 7819  df-cda 8038  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-div 9668  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-4 10050  df-n0 10212  df-z 10273  df-uz 10479  df-q 10565  df-rp 10603  df-xneg 10700  df-xadd 10701  df-xmul 10702  df-ioo 10910  df-ico 10912  df-icc 10913  df-fz 11034  df-fzo 11126  df-fl 11192  df-seq 11314  df-exp 11373  df-hash 11609  df-cj 11894  df-re 11895  df-im 11896  df-sqr 12030  df-abs 12031  df-clim 12272  df-rlim 12273  df-sum 12470  df-rest 13640  df-topgen 13657  df-psmet 16684  df-xmet 16685  df-met 16686  df-bl 16687  df-mopn 16688  df-top 16953  df-bases 16955  df-topon 16956  df-cmp 17440  df-ovol 19351  df-vol 19352
  Copyright terms: Public domain W3C validator