MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opnmblALT Unicode version

Theorem opnmblALT 18974
Description: All open sets are measurable. This alternative proof of opnmbl 18973 is significantly shorter, at the expense of invoking countable choice ax-cc 8077. (This was also the original proof before the current opnmbl 18973 was discovered.) (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
opnmblALT  |-  ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  ->  A  e.  dom  vol )

Proof of Theorem opnmblALT
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qtopbas 18284 . . . 4  |-  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  e.  TopBases
2 eltg3 16716 . . . 4  |-  ( ( (,) " ( QQ 
X.  QQ ) )  e.  TopBases  ->  ( A  e.  ( topGen `  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )  <->  E. x
( x  C_  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  /\  A  =  U. x ) ) )
31, 2ax-mp 8 . . 3  |-  ( A  e.  ( topGen `  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )  <->  E. x
( x  C_  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  /\  A  =  U. x ) )
4 uniiun 3971 . . . . . . 7  |-  U. x  =  U_ y  e.  x  y
5 ssdomg 6923 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (,) " ( QQ 
X.  QQ ) )  e.  TopBases  ->  ( x  C_  ( (,) " ( QQ 
X.  QQ ) )  ->  x  ~<_  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) ) )
61, 5ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( x 
C_  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ->  x  ~<_  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )
7 omelon 7363 . . . . . . . . . . . 12  |-  om  e.  On
8 qnnen 12508 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  QQ  ~~  NN
9 xpen 7040 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( QQ  ~~  NN  /\  QQ  ~~  NN )  -> 
( QQ  X.  QQ )  ~~  ( NN  X.  NN ) )
108, 8, 9mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( QQ 
X.  QQ )  ~~  ( NN  X.  NN )
11 xpnnen 12503 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( NN 
X.  NN )  ~~  NN
1210, 11entri 6931 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( QQ 
X.  QQ )  ~~  NN
13 nnenom 11058 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN  ~~  om
1412, 13entr2i 6932 . . . . . . . . . . . 12  |-  om  ~~  ( QQ  X.  QQ )
15 isnumi 7595 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( om  e.  On  /\  om 
~~  ( QQ  X.  QQ ) )  ->  ( QQ  X.  QQ )  e. 
dom  card )
167, 14, 15mp2an 653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( QQ 
X.  QQ )  e. 
dom  card
17 ioof 10757 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
18 ffun 5407 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  Fun  (,) )
1917, 18ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  Fun  (,)
20 qssre 10342 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  QQ  C_  RR
21 ressxr 8892 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  RR  C_  RR*
2220, 21sstri 3201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  QQ  C_  RR*
23 xpss12 4808 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( QQ  C_  RR*  /\  QQ  C_ 
RR* )  ->  ( QQ  X.  QQ )  C_  ( RR*  X.  RR* )
)
2422, 22, 23mp2an 653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( QQ 
X.  QQ )  C_  ( RR*  X.  RR* )
2517fdmi 5410 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  (,)  =  ( RR*  X.  RR* )
2624, 25sseqtr4i 3224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( QQ 
X.  QQ )  C_  dom  (,)
27 fores 5476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  (,)  /\  ( QQ  X.  QQ )  C_  dom  (,) )  ->  ( (,)  |`  ( QQ  X.  QQ ) ) : ( QQ  X.  QQ )
-onto-> ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )
2819, 26, 27mp2an 653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (,)  |`  ( QQ  X.  QQ ) ) : ( QQ  X.  QQ )
-onto-> ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )
29 fodomnum 7700 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( QQ  X.  QQ )  e.  dom  card  ->  ( ( (,)  |`  ( QQ  X.  QQ ) ) : ( QQ  X.  QQ ) -onto-> ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ->  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ~<_  ( QQ  X.  QQ ) ) )
3016, 28, 29mp2 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ~<_  ( QQ 
X.  QQ )
31 domentr 6936 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ~<_  ( QQ  X.  QQ )  /\  ( QQ  X.  QQ )  ~~  NN )  ->  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ~<_  NN )
3230, 12, 31mp2an 653 . . . . . . . . 9  |-  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ~<_  NN
33 domtr 6930 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  ~<_  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  /\  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ~<_  NN )  ->  x  ~<_  NN )
346, 32, 33sylancl 643 . . . . . . . 8  |-  ( x 
C_  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ->  x  ~<_  NN )
35 imassrn 5041 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  C_  ran  (,)
36 ffn 5405 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
)
3717, 36ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
38 ioombl 18938 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x (,) y )  e. 
dom  vol
3938rgen2w 2624 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A. x  e.  RR*  A. y  e. 
RR*  ( x (,) y )  e.  dom  vol
40 ffnov 5964 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> dom  vol  <->  ( (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )  /\  A. x  e.  RR*  A. y  e.  RR*  (
x (,) y )  e.  dom  vol )
)
4137, 39, 40mpbir2an 886 . . . . . . . . . . . 12  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> dom  vol
42 frn 5411 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> dom  vol  ->  ran  (,)  C_ 
dom  vol )
4341, 42ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  (,)  C_ 
dom  vol
4435, 43sstri 3201 . . . . . . . . . 10  |-  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  C_  dom  vol
45 sstr 3200 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  C_  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  /\  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  C_  dom  vol )  ->  x  C_  dom  vol )
4644, 45mpan2 652 . . . . . . . . 9  |-  ( x 
C_  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ->  x  C_  dom  vol )
47 dfss3 3183 . . . . . . . . 9  |-  ( x 
C_  dom  vol  <->  A. y  e.  x  y  e.  dom  vol )
4846, 47sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( x 
C_  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ->  A. y  e.  x  y  e.  dom  vol )
49 iunmbl2 18930 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  ~<_  NN  /\  A. y  e.  x  y  e.  dom  vol )  ->  U_ y  e.  x  y  e.  dom  vol )
5034, 48, 49syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( x 
C_  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ->  U_ y  e.  x  y  e.  dom  vol )
514, 50syl5eqel 2380 . . . . . 6  |-  ( x 
C_  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ->  U. x  e.  dom  vol )
52 eleq1 2356 . . . . . 6  |-  ( A  =  U. x  -> 
( A  e.  dom  vol  <->  U. x  e.  dom  vol ) )
5351, 52syl5ibrcom 213 . . . . 5  |-  ( x 
C_  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ->  ( A  = 
U. x  ->  A  e.  dom  vol ) )
5453imp 418 . . . 4  |-  ( ( x  C_  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  /\  A  =  U. x )  ->  A  e.  dom  vol )
5554exlimiv 1624 . . 3  |-  ( E. x ( x  C_  ( (,) " ( QQ 
X.  QQ ) )  /\  A  =  U. x )  ->  A  e.  dom  vol )
563, 55sylbi 187 . 2  |-  ( A  e.  ( topGen `  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )  ->  A  e.  dom  vol )
57 eqid 2296 . . 3  |-  ( topGen `  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )  =  ( topGen `  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )
5857tgqioo 18322 . 2  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )
5956, 58eleq2s 2388 1  |-  ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  ->  A  e.  dom  vol )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638   U.cuni 3843   U_ciun 3921   class class class wbr 4039   Oncon0 4408   omcom 4672    X. cxp 4703   dom cdm 4705   ran crn 4706    |` cres 4707   "cima 4708   Fun wfun 5265    Fn wfn 5266   -->wf 5267   -onto->wfo 5269   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    ~~ cen 6876    ~<_ cdom 6877   cardccrd 7584   RRcr 8752   RR*cxr 8882   NNcn 9762   QQcq 10332   (,)cioo 10672   topGenctg 13358   TopBasesctb 16651   volcvol 18839
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cc 8077  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-disj 4010  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-acn 7591  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xadd 10469  df-ioo 10676  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-topgen 13360  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bases 16654  df-ovol 18840  df-vol 18841
  Copyright terms: Public domain W3C validator