Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opnmblALT Structured version   Unicode version

Theorem opnmblALT 19497
 Description: All open sets are measurable. This alternative proof of opnmbl 19496 is significantly shorter, at the expense of invoking countable choice ax-cc 8317. (This was also the original proof before the current opnmbl 19496 was discovered.) (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
opnmblALT

Proof of Theorem opnmblALT
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qtopbas 18795 . . . 4
2 eltg3 17029 . . . 4
31, 2ax-mp 8 . . 3
4 uniiun 4146 . . . . . . 7
5 ssdomg 7155 . . . . . . . . . 10
61, 5ax-mp 8 . . . . . . . . 9
7 omelon 7603 . . . . . . . . . . . 12
8 qnnen 12815 . . . . . . . . . . . . . . 15
9 xpen 7272 . . . . . . . . . . . . . . 15
108, 8, 9mp2an 655 . . . . . . . . . . . . . 14
11 xpnnen 12810 . . . . . . . . . . . . . 14
1210, 11entri 7163 . . . . . . . . . . . . 13
13 nnenom 11321 . . . . . . . . . . . . 13
1412, 13entr2i 7164 . . . . . . . . . . . 12
15 isnumi 7835 . . . . . . . . . . . 12
167, 14, 15mp2an 655 . . . . . . . . . . 11
17 ioof 11004 . . . . . . . . . . . . 13
18 ffun 5595 . . . . . . . . . . . . 13
1917, 18ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12
20 qssre 10586 . . . . . . . . . . . . . . 15
21 ressxr 9131 . . . . . . . . . . . . . . 15
2220, 21sstri 3359 . . . . . . . . . . . . . 14
23 xpss12 4983 . . . . . . . . . . . . . 14
2422, 22, 23mp2an 655 . . . . . . . . . . . . 13
2517fdmi 5598 . . . . . . . . . . . . 13
2624, 25sseqtr4i 3383 . . . . . . . . . . . 12
27 fores 5664 . . . . . . . . . . . 12
2819, 26, 27mp2an 655 . . . . . . . . . . 11
29 fodomnum 7940 . . . . . . . . . . 11
3016, 28, 29mp2 9 . . . . . . . . . 10
31 domentr 7168 . . . . . . . . . 10
3230, 12, 31mp2an 655 . . . . . . . . 9
33 domtr 7162 . . . . . . . . 9
346, 32, 33sylancl 645 . . . . . . . 8
35 imassrn 5218 . . . . . . . . . . 11
36 ffn 5593 . . . . . . . . . . . . . 14
3717, 36ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13
38 ioombl 19461 . . . . . . . . . . . . . 14
3938rgen2w 2776 . . . . . . . . . . . . 13
40 ffnov 6176 . . . . . . . . . . . . 13
4137, 39, 40mpbir2an 888 . . . . . . . . . . . 12
42 frn 5599 . . . . . . . . . . . 12
4341, 42ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11
4435, 43sstri 3359 . . . . . . . . . 10
45 sstr 3358 . . . . . . . . . 10
4644, 45mpan2 654 . . . . . . . . 9
47 dfss3 3340 . . . . . . . . 9
4846, 47sylib 190 . . . . . . . 8
49 iunmbl2 19453 . . . . . . . 8
5034, 48, 49syl2anc 644 . . . . . . 7
514, 50syl5eqel 2522 . . . . . 6
52 eleq1 2498 . . . . . 6
5351, 52syl5ibrcom 215 . . . . 5
5453imp 420 . . . 4
5554exlimiv 1645 . . 3
563, 55sylbi 189 . 2
57 eqid 2438 . . 3
5857tgqioo 18833 . 2
5956, 58eleq2s 2530 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360  wex 1551   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707   wss 3322  cpw 3801  cuni 4017  ciun 4095   class class class wbr 4214  con0 4583  com 4847   cxp 4878   cdm 4880   crn 4881   cres 4882  cima 4883   wfun 5450   wfn 5451  wf 5452  wfo 5454  cfv 5456  (class class class)co 6083   cen 7108   cdom 7109  ccrd 7824  cr 8991  cxr 9121  cn 10002  cq 10576  cioo 10918  ctg 13667  ctb 16964  cvol 19362 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cc 8317  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-disj 4185  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-omul 6731  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-acn 7831  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xadd 10713  df-ioo 10922  df-ico 10924  df-icc 10925  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-fl 11204  df-seq 11326  df-exp 11385  df-hash 11621  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-clim 12284  df-rlim 12285  df-sum 12482  df-topgen 13669  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bases 16967  df-ovol 19363  df-vol 19364
 Copyright terms: Public domain W3C validator