MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opnmblALT Unicode version

Theorem opnmblALT 18958
Description: All open sets are measurable. This alternative proof of opnmbl 18957 is significantly shorter, at the expense of invoking countable choice ax-cc 8061. (This was also the original proof before the current opnmbl 18957 was discovered.) (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
opnmblALT  |-  ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  ->  A  e.  dom  vol )

Proof of Theorem opnmblALT
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qtopbas 18268 . . . 4  |-  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  e.  TopBases
2 eltg3 16700 . . . 4  |-  ( ( (,) " ( QQ 
X.  QQ ) )  e.  TopBases  ->  ( A  e.  ( topGen `  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )  <->  E. x
( x  C_  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  /\  A  =  U. x ) ) )
31, 2ax-mp 8 . . 3  |-  ( A  e.  ( topGen `  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )  <->  E. x
( x  C_  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  /\  A  =  U. x ) )
4 uniiun 3955 . . . . . . 7  |-  U. x  =  U_ y  e.  x  y
5 ssdomg 6907 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (,) " ( QQ 
X.  QQ ) )  e.  TopBases  ->  ( x  C_  ( (,) " ( QQ 
X.  QQ ) )  ->  x  ~<_  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) ) )
61, 5ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( x 
C_  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ->  x  ~<_  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )
7 omelon 7347 . . . . . . . . . . . 12  |-  om  e.  On
8 qnnen 12492 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  QQ  ~~  NN
9 xpen 7024 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( QQ  ~~  NN  /\  QQ  ~~  NN )  -> 
( QQ  X.  QQ )  ~~  ( NN  X.  NN ) )
108, 8, 9mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( QQ 
X.  QQ )  ~~  ( NN  X.  NN )
11 xpnnen 12487 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( NN 
X.  NN )  ~~  NN
1210, 11entri 6915 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( QQ 
X.  QQ )  ~~  NN
13 nnenom 11042 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN  ~~  om
1412, 13entr2i 6916 . . . . . . . . . . . 12  |-  om  ~~  ( QQ  X.  QQ )
15 isnumi 7579 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( om  e.  On  /\  om 
~~  ( QQ  X.  QQ ) )  ->  ( QQ  X.  QQ )  e. 
dom  card )
167, 14, 15mp2an 653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( QQ 
X.  QQ )  e. 
dom  card
17 ioof 10741 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
18 ffun 5391 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  Fun  (,) )
1917, 18ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  Fun  (,)
20 qssre 10326 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  QQ  C_  RR
21 ressxr 8876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  RR  C_  RR*
2220, 21sstri 3188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  QQ  C_  RR*
23 xpss12 4792 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( QQ  C_  RR*  /\  QQ  C_ 
RR* )  ->  ( QQ  X.  QQ )  C_  ( RR*  X.  RR* )
)
2422, 22, 23mp2an 653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( QQ 
X.  QQ )  C_  ( RR*  X.  RR* )
2517fdmi 5394 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  (,)  =  ( RR*  X.  RR* )
2624, 25sseqtr4i 3211 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( QQ 
X.  QQ )  C_  dom  (,)
27 fores 5460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  (,)  /\  ( QQ  X.  QQ )  C_  dom  (,) )  ->  ( (,)  |`  ( QQ  X.  QQ ) ) : ( QQ  X.  QQ )
-onto-> ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )
2819, 26, 27mp2an 653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (,)  |`  ( QQ  X.  QQ ) ) : ( QQ  X.  QQ )
-onto-> ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )
29 fodomnum 7684 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( QQ  X.  QQ )  e.  dom  card  ->  ( ( (,)  |`  ( QQ  X.  QQ ) ) : ( QQ  X.  QQ ) -onto-> ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ->  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ~<_  ( QQ  X.  QQ ) ) )
3016, 28, 29mp2 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ~<_  ( QQ 
X.  QQ )
31 domentr 6920 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ~<_  ( QQ  X.  QQ )  /\  ( QQ  X.  QQ )  ~~  NN )  ->  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ~<_  NN )
3230, 12, 31mp2an 653 . . . . . . . . 9  |-  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ~<_  NN
33 domtr 6914 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  ~<_  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  /\  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ~<_  NN )  ->  x  ~<_  NN )
346, 32, 33sylancl 643 . . . . . . . 8  |-  ( x 
C_  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ->  x  ~<_  NN )
35 imassrn 5025 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  C_  ran  (,)
36 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
)
3717, 36ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
38 ioombl 18922 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x (,) y )  e. 
dom  vol
3938rgen2w 2611 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A. x  e.  RR*  A. y  e. 
RR*  ( x (,) y )  e.  dom  vol
40 ffnov 5948 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> dom  vol  <->  ( (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )  /\  A. x  e.  RR*  A. y  e.  RR*  (
x (,) y )  e.  dom  vol )
)
4137, 39, 40mpbir2an 886 . . . . . . . . . . . 12  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> dom  vol
42 frn 5395 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> dom  vol  ->  ran  (,)  C_ 
dom  vol )
4341, 42ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  (,)  C_ 
dom  vol
4435, 43sstri 3188 . . . . . . . . . 10  |-  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  C_  dom  vol
45 sstr 3187 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  C_  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  /\  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  C_  dom  vol )  ->  x  C_  dom  vol )
4644, 45mpan2 652 . . . . . . . . 9  |-  ( x 
C_  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ->  x  C_  dom  vol )
47 dfss3 3170 . . . . . . . . 9  |-  ( x 
C_  dom  vol  <->  A. y  e.  x  y  e.  dom  vol )
4846, 47sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( x 
C_  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ->  A. y  e.  x  y  e.  dom  vol )
49 iunmbl2 18914 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  ~<_  NN  /\  A. y  e.  x  y  e.  dom  vol )  ->  U_ y  e.  x  y  e.  dom  vol )
5034, 48, 49syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( x 
C_  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ->  U_ y  e.  x  y  e.  dom  vol )
514, 50syl5eqel 2367 . . . . . 6  |-  ( x 
C_  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ->  U. x  e.  dom  vol )
52 eleq1 2343 . . . . . 6  |-  ( A  =  U. x  -> 
( A  e.  dom  vol  <->  U. x  e.  dom  vol ) )
5351, 52syl5ibrcom 213 . . . . 5  |-  ( x 
C_  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ->  ( A  = 
U. x  ->  A  e.  dom  vol ) )
5453imp 418 . . . 4  |-  ( ( x  C_  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  /\  A  =  U. x )  ->  A  e.  dom  vol )
5554exlimiv 1666 . . 3  |-  ( E. x ( x  C_  ( (,) " ( QQ 
X.  QQ ) )  /\  A  =  U. x )  ->  A  e.  dom  vol )
563, 55sylbi 187 . 2  |-  ( A  e.  ( topGen `  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )  ->  A  e.  dom  vol )
57 eqid 2283 . . 3  |-  ( topGen `  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )  =  ( topGen `  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )
5857tgqioo 18306 . 2  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )
5956, 58eleq2s 2375 1  |-  ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  ->  A  e.  dom  vol )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   U.cuni 3827   U_ciun 3905   class class class wbr 4023   Oncon0 4392   omcom 4656    X. cxp 4687   dom cdm 4689   ran crn 4690    |` cres 4691   "cima 4692   Fun wfun 5249    Fn wfn 5250   -->wf 5251   -onto->wfo 5253   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ~~ cen 6860    ~<_ cdom 6861   cardccrd 7568   RRcr 8736   RR*cxr 8866   NNcn 9746   QQcq 10316   (,)cioo 10656   topGenctg 13342   TopBasesctb 16635   volcvol 18823
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cc 8061  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-disj 3994  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-acn 7575  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xadd 10453  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-topgen 13344  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bases 16638  df-ovol 18824  df-vol 18825
  Copyright terms: Public domain W3C validator