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Theorem opnnei 17222
Description: A set is open iff it is a neighborhood of all its points. ( Contributed by Jeff Hankins, 15-Sep-2009.) (Contributed by NM, 16-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
opnnei  |-  ( J  e.  Top  ->  ( S  e.  J  <->  A. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) ) )
Distinct variable groups:    x, J    x, S

Proof of Theorem opnnei
StepHypRef Expression
1 0opn 17015 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  (/)  e.  J
)
21adantr 453 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  =  (/) )  ->  (/) 
e.  J )
3 eleq1 2503 . . . . 5  |-  ( S  =  (/)  ->  ( S  e.  J  <->  (/)  e.  J
) )
43adantl 454 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  =  (/) )  -> 
( S  e.  J  <->  (/)  e.  J ) )
52, 4mpbird 225 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  =  (/) )  ->  S  e.  J )
6 rzal 3757 . . . 4  |-  ( S  =  (/)  ->  A. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) )
76adantl 454 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  =  (/) )  ->  A. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J ) `  { x } ) )
85, 72thd 233 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  =  (/) )  -> 
( S  e.  J  <->  A. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) ) )
9 opnneip 17221 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  J  /\  x  e.  S )  ->  S  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
) )
1093expia 1156 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  J )  ->  ( x  e.  S  ->  S  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
) ) )
1110ralrimiv 2795 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  J )  ->  A. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J ) `  { x } ) )
1211ex 425 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  ( S  e.  J  ->  A. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) ) )
1312adantr 453 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  -.  S  =  (/) )  -> 
( S  e.  J  ->  A. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J ) `  { x } ) ) )
14 df-ne 2608 . . . . . 6  |-  ( S  =/=  (/)  <->  -.  S  =  (/) )
15 r19.2z 3745 . . . . . . 7  |-  ( ( S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) )  ->  E. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J ) `  { x } ) )
1615ex 425 . . . . . 6  |-  ( S  =/=  (/)  ->  ( A. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } )  ->  E. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) ) )
1714, 16sylbir 206 . . . . 5  |-  ( -.  S  =  (/)  ->  ( A. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J ) `  { x } )  ->  E. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J ) `  { x } ) ) )
18 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  U. J  =  U. J
1918neii1 17208 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  ( ( nei `  J ) `  { x } ) )  ->  S  C_  U. J
)
2019ex 425 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  ( S  e.  ( ( nei `  J ) `  { x } )  ->  S  C_  U. J
) )
2120rexlimdvw 2840 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  ( E. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J ) `  { x } )  ->  S  C_  U. J
) )
2217, 21sylan9r 641 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  -.  S  =  (/) )  -> 
( A. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } )  ->  S  C_ 
U. J ) )
2318ntrss2 17159 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  ->  ( ( int `  J ) `  S
)  C_  S )
2423adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  /\  A. x  e.  S  { x }  C_  ( ( int `  J
) `  S )
)  ->  ( ( int `  J ) `  S )  C_  S
)
25 vex 2968 . . . . . . . . . . . . 13  |-  x  e. 
_V
2625snss 3955 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ( int `  J ) `  S
)  <->  { x }  C_  ( ( int `  J
) `  S )
)
2726ralbii 2736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  S  x  e.  ( ( int `  J
) `  S )  <->  A. x  e.  S  {
x }  C_  (
( int `  J
) `  S )
)
28 dfss3 3327 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S 
C_  ( ( int `  J ) `  S
)  <->  A. x  e.  S  x  e.  ( ( int `  J ) `  S ) )
2928biimpri 199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  S  x  e.  ( ( int `  J
) `  S )  ->  S  C_  ( ( int `  J ) `  S ) )
3029adantl 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  /\  A. x  e.  S  x  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  ->  S  C_  (
( int `  J
) `  S )
)
3127, 30sylan2br 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  /\  A. x  e.  S  { x }  C_  ( ( int `  J
) `  S )
)  ->  S  C_  (
( int `  J
) `  S )
)
3224, 31eqssd 3354 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  /\  A. x  e.  S  { x }  C_  ( ( int `  J
) `  S )
)  ->  ( ( int `  J ) `  S )  =  S )
3332ex 425 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  ->  ( A. x  e.  S  { x }  C_  ( ( int `  J ) `  S
)  ->  ( ( int `  J ) `  S )  =  S ) )
3425snss 3955 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  S  <->  { x }  C_  S )
35 sstr2 3344 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { x }  C_  S  ->  ( S  C_  U. J  ->  { x }  C_  U. J ) )
3635com12 30 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S 
C_  U. J  ->  ( { x }  C_  S  ->  { x }  C_ 
U. J ) )
3736adantl 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  ->  ( { x }  C_  S  ->  { x }  C_  U. J ) )
3834, 37syl5bi 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  ->  ( x  e.  S  ->  { x }  C_  U. J ) )
3938imp 420 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  /\  x  e.  S
)  ->  { x }  C_  U. J )
4018neiint 17206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  { x }  C_  U. J  /\  S  C_  U. J
)  ->  ( S  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } )  <->  { x }  C_  ( ( int `  J ) `  S
) ) )
41403com23 1160 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J  /\  { x }  C_  U. J
)  ->  ( S  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } )  <->  { x }  C_  ( ( int `  J ) `  S
) ) )
42413expa 1154 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  /\  { x }  C_ 
U. J )  -> 
( S  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } )  <->  { x }  C_  ( ( int `  J ) `  S
) ) )
4339, 42syldan 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  /\  x  e.  S
)  ->  ( S  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } )  <->  { x }  C_  ( ( int `  J ) `  S
) ) )
4443ralbidva 2728 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  ->  ( A. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } )  <->  A. x  e.  S  { x }  C_  ( ( int `  J ) `  S
) ) )
4518isopn3 17168 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  ->  ( S  e.  J  <->  ( ( int `  J ) `  S
)  =  S ) )
4633, 44, 453imtr4d 261 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  ->  ( A. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } )  ->  S  e.  J ) )
4746ex 425 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  ( S  C_  U. J  -> 
( A. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } )  ->  S  e.  J ) ) )
4847com23 75 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J ) `  { x } )  ->  ( S  C_  U. J  ->  S  e.  J ) ) )
4948adantr 453 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  -.  S  =  (/) )  -> 
( A. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } )  ->  ( S  C_  U. J  ->  S  e.  J )
) )
5022, 49mpdd 39 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  -.  S  =  (/) )  -> 
( A. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } )  ->  S  e.  J ) )
5113, 50impbid 185 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  -.  S  =  (/) )  -> 
( S  e.  J  <->  A. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) ) )
528, 51pm2.61dan 768 1  |-  ( J  e.  Top  ->  ( S  e.  J  <->  A. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1654    e. wcel 1728    =/= wne 2606   A.wral 2712   E.wrex 2713    C_ wss 3309   (/)c0 3616   {csn 3843   U.cuni 4044   ` cfv 5489   Topctop 16996   intcnt 17119   neicnei 17199
This theorem is referenced by:  neiptopreu  17235  flimcf  18052
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-rep 4351  ax-sep 4361  ax-nul 4369  ax-pow 4412  ax-pr 4438  ax-un 4736
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-nul 3617  df-if 3768  df-pw 3830  df-sn 3849  df-pr 3850  df-op 3852  df-uni 4045  df-iun 4124  df-br 4244  df-opab 4298  df-mpt 4299  df-id 4533  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5453  df-fun 5491  df-fn 5492  df-f 5493  df-f1 5494  df-fo 5495  df-f1o 5496  df-fv 5497  df-top 17001  df-ntr 17122  df-nei 17200
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