Theorem opnnei 17147

Description: A set is open iff it is a neighborhood of all its points. ( Contributed by Jeff Hankins, 15-Sep-2009.) (Contributed by NM, 16-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
opnnei	|- ( J e. Top -> ( S e. J <-> A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) )

Distinct variable groups:   x, J   x, S

Proof of Theorem opnnei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0opn 16940	. . . . 5 |- ( J e. Top -> (/) e. J )
2	1	adantr 452	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ S = (/) ) -> (/) e. J )
3		eleq1 2472	. . . . 5 |- ( S = (/) -> ( S e. J <-> (/) e. J ) )
4	3	adantl 453	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ S = (/) ) -> ( S e. J <-> (/) e. J ) )
5	2, 4	mpbird 224	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S = (/) ) -> S e. J )
6		rzal 3697	. . . 4 |- ( S = (/) -> A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) )
7	6	adantl 453	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S = (/) ) -> A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) )
8	5, 7	2thd 232	. 2 |- ( ( J e. Top /\ S = (/) ) -> ( S e. J <-> A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) )
9		opnneip 17146	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ S e. J /\ x e. S ) -> S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) )
10	9	3expia 1155	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ S e. J ) -> ( x e. S -> S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) )
11	10	ralrimiv 2756	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ S e. J ) -> A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) )
12	11	ex 424	. . . 4 |- ( J e. Top -> ( S e. J -> A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) )
13	12	adantr 452	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ -. S = (/) ) -> ( S e. J -> A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) )
14		df-ne 2577	. . . . . 6 |- ( S =/= (/) <-> -. S = (/) )
15		r19.2z 3685	. . . . . . 7 |- ( ( S =/= (/) /\ A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) -> E. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) )
16	15	ex 424	. . . . . 6 |- ( S =/= (/) -> ( A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) -> E. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) )
17	14, 16	sylbir 205	. . . . 5 |- ( -. S = (/) -> ( A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) -> E. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) )
18		eqid 2412	. . . . . . . 8 |- U. J = U. J
19	18	neii1 17133	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) -> S C_ U. J )
20	19	ex 424	. . . . . 6 |- ( J e. Top -> ( S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) -> S C_ U. J ) )
21	20	rexlimdvw 2801	. . . . 5 |- ( J e. Top -> ( E. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) -> S C_ U. J ) )
22	17, 21	sylan9r 640	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ -. S = (/) ) -> ( A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) -> S C_ U. J ) )
23	18	ntrss2 17084	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) -> ( ( int ` J ) ` S ) C_ S )
24	23	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) /\ A. x e. S { x } C_ ( ( int ` J ) ` S ) ) -> ( ( int ` J ) ` S ) C_ S )
25		vex 2927	. . . . . . . . . . . . 13 |- x e. _V
26	25	snss 3894	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( ( int ` J ) ` S ) <-> { x } C_ ( ( int ` J ) ` S ) )
27	26	ralbii 2698	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. S x e. ( ( int ` J ) ` S ) <-> A. x e. S { x } C_ ( ( int ` J ) ` S ) )
28		dfss3 3306	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( S C_ ( ( int ` J ) ` S ) <-> A. x e. S x e. ( ( int ` J ) ` S ) )
29	28	biimpri 198	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. S x e. ( ( int ` J ) ` S ) -> S C_ ( ( int ` J ) ` S ) )
30	29	adantl 453	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) /\ A. x e. S x e. ( ( int ` J ) ` S ) ) -> S C_ ( ( int ` J ) ` S ) )
31	27, 30	sylan2br 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) /\ A. x e. S { x } C_ ( ( int ` J ) ` S ) ) -> S C_ ( ( int ` J ) ` S ) )
32	24, 31	eqssd 3333	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) /\ A. x e. S { x } C_ ( ( int ` J ) ` S ) ) -> ( ( int ` J ) ` S ) = S )
33	32	ex 424	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) -> ( A. x e. S { x } C_ ( ( int ` J ) ` S ) -> ( ( int ` J ) ` S ) = S ) )
34	25	snss 3894	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. S <-> { x } C_ S )
35		sstr2 3323	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { x } C_ S -> ( S C_ U. J -> { x } C_ U. J ) )
36	35	com12 29	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( S C_ U. J -> ( { x } C_ S -> { x } C_ U. J ) )
37	36	adantl 453	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) -> ( { x } C_ S -> { x } C_ U. J ) )
38	34, 37	syl5bi 209	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) -> ( x e. S -> { x } C_ U. J ) )
39	38	imp 419	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) /\ x e. S ) -> { x } C_ U. J )
40	18	neiint 17131	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ { x } C_ U. J /\ S C_ U. J ) -> ( S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) <-> { x } C_ ( ( int ` J ) ` S ) ) )
41	40	3com23 1159	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. Top /\ S C_ U. J /\ { x } C_ U. J ) -> ( S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) <-> { x } C_ ( ( int ` J ) ` S ) ) )
42	41	3expa 1153	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) /\ { x } C_ U. J ) -> ( S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) <-> { x } C_ ( ( int ` J ) ` S ) ) )
43	39, 42	syldan 457	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) /\ x e. S ) -> ( S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) <-> { x } C_ ( ( int ` J ) ` S ) ) )
44	43	ralbidva 2690	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) -> ( A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) <-> A. x e. S { x } C_ ( ( int ` J ) ` S ) ) )
45	18	isopn3 17093	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) -> ( S e. J <-> ( ( int ` J ) ` S ) = S ) )
46	33, 44, 45	3imtr4d 260	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) -> ( A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) -> S e. J ) )
47	46	ex 424	. . . . . 6 |- ( J e. Top -> ( S C_ U. J -> ( A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) -> S e. J ) ) )
48	47	com23 74	. . . . 5 |- ( J e. Top -> ( A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) -> ( S C_ U. J -> S e. J ) ) )
49	48	adantr 452	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ -. S = (/) ) -> ( A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) -> ( S C_ U. J -> S e. J ) ) )
50	22, 49	mpdd 38	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ -. S = (/) ) -> ( A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) -> S e. J ) )
51	13, 50	impbid 184	. 2 |- ( ( J e. Top /\ -. S = (/) ) -> ( S e. J <-> A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) )
52	8, 51	pm2.61dan 767	1 |- ( J e. Top -> ( S e. J <-> A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   =/= wne 2575   A.wral 2674   E.wrex 2675   C_ wss 3288   (/)c0 3596   {csn 3782   U.cuni 3983   ` cfv 5421   Topctop 16921   intcnt 17044   neicnei 17124

This theorem is referenced by:  neiptopreu  17160  flimcf  17975

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-id 4466  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-top 16926  df-ntr 17047  df-nei 17125