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Theorem opnnei 16857
Description: A set is open iff it is a neighborhood of all its points. ( Contributed by Jeff Hankins, 15-Sep-2009.) (Contributed by NM, 16-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
opnnei  |-  ( J  e.  Top  ->  ( S  e.  J  <->  A. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) ) )
Distinct variable groups:    x, J    x, S

Proof of Theorem opnnei
StepHypRef Expression
1 0opn 16650 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  (/)  e.  J
)
21adantr 451 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  =  (/) )  ->  (/) 
e.  J )
3 eleq1 2343 . . . . 5  |-  ( S  =  (/)  ->  ( S  e.  J  <->  (/)  e.  J
) )
43adantl 452 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  =  (/) )  -> 
( S  e.  J  <->  (/)  e.  J ) )
52, 4mpbird 223 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  =  (/) )  ->  S  e.  J )
6 rzal 3555 . . . 4  |-  ( S  =  (/)  ->  A. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) )
76adantl 452 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  =  (/) )  ->  A. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J ) `  { x } ) )
85, 72thd 231 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  =  (/) )  -> 
( S  e.  J  <->  A. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) ) )
9 opnneip 16856 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  J  /\  x  e.  S )  ->  S  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
) )
1093expia 1153 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  J )  ->  ( x  e.  S  ->  S  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
) ) )
1110ralrimiv 2625 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  J )  ->  A. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J ) `  { x } ) )
1211ex 423 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  ( S  e.  J  ->  A. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) ) )
1312adantr 451 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  -.  S  =  (/) )  -> 
( S  e.  J  ->  A. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J ) `  { x } ) ) )
14 df-ne 2448 . . . . . 6  |-  ( S  =/=  (/)  <->  -.  S  =  (/) )
15 r19.2z 3543 . . . . . . 7  |-  ( ( S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) )  ->  E. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J ) `  { x } ) )
1615ex 423 . . . . . 6  |-  ( S  =/=  (/)  ->  ( A. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } )  ->  E. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) ) )
1714, 16sylbir 204 . . . . 5  |-  ( -.  S  =  (/)  ->  ( A. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J ) `  { x } )  ->  E. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J ) `  { x } ) ) )
18 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  U. J  =  U. J
1918neii1 16843 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  ( ( nei `  J ) `  { x } ) )  ->  S  C_  U. J
)
2019ex 423 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  ( S  e.  ( ( nei `  J ) `  { x } )  ->  S  C_  U. J
) )
2120rexlimdvw 2670 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  ( E. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J ) `  { x } )  ->  S  C_  U. J
) )
2217, 21sylan9r 639 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  -.  S  =  (/) )  -> 
( A. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } )  ->  S  C_ 
U. J ) )
2318ntrss2 16794 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  ->  ( ( int `  J ) `  S
)  C_  S )
2423adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  /\  A. x  e.  S  { x }  C_  ( ( int `  J
) `  S )
)  ->  ( ( int `  J ) `  S )  C_  S
)
25 vex 2791 . . . . . . . . . . . . 13  |-  x  e. 
_V
2625snss 3748 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ( int `  J ) `  S
)  <->  { x }  C_  ( ( int `  J
) `  S )
)
2726ralbii 2567 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  S  x  e.  ( ( int `  J
) `  S )  <->  A. x  e.  S  {
x }  C_  (
( int `  J
) `  S )
)
28 dfss3 3170 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S 
C_  ( ( int `  J ) `  S
)  <->  A. x  e.  S  x  e.  ( ( int `  J ) `  S ) )
2928biimpri 197 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  S  x  e.  ( ( int `  J
) `  S )  ->  S  C_  ( ( int `  J ) `  S ) )
3029adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  /\  A. x  e.  S  x  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  ->  S  C_  (
( int `  J
) `  S )
)
3127, 30sylan2br 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  /\  A. x  e.  S  { x }  C_  ( ( int `  J
) `  S )
)  ->  S  C_  (
( int `  J
) `  S )
)
3224, 31eqssd 3196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  /\  A. x  e.  S  { x }  C_  ( ( int `  J
) `  S )
)  ->  ( ( int `  J ) `  S )  =  S )
3332ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  ->  ( A. x  e.  S  { x }  C_  ( ( int `  J ) `  S
)  ->  ( ( int `  J ) `  S )  =  S ) )
3425snss 3748 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  S  <->  { x }  C_  S )
35 sstr2 3186 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { x }  C_  S  ->  ( S  C_  U. J  ->  { x }  C_  U. J ) )
3635com12 27 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S 
C_  U. J  ->  ( { x }  C_  S  ->  { x }  C_ 
U. J ) )
3736adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  ->  ( { x }  C_  S  ->  { x }  C_  U. J ) )
3834, 37syl5bi 208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  ->  ( x  e.  S  ->  { x }  C_  U. J ) )
3938imp 418 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  /\  x  e.  S
)  ->  { x }  C_  U. J )
4018neiint 16841 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  { x }  C_  U. J  /\  S  C_  U. J
)  ->  ( S  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } )  <->  { x }  C_  ( ( int `  J ) `  S
) ) )
41403com23 1157 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J  /\  { x }  C_  U. J
)  ->  ( S  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } )  <->  { x }  C_  ( ( int `  J ) `  S
) ) )
42413expa 1151 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  /\  { x }  C_ 
U. J )  -> 
( S  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } )  <->  { x }  C_  ( ( int `  J ) `  S
) ) )
4339, 42syldan 456 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  /\  x  e.  S
)  ->  ( S  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } )  <->  { x }  C_  ( ( int `  J ) `  S
) ) )
4443ralbidva 2559 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  ->  ( A. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } )  <->  A. x  e.  S  { x }  C_  ( ( int `  J ) `  S
) ) )
4518isopn3 16803 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  ->  ( S  e.  J  <->  ( ( int `  J ) `  S
)  =  S ) )
4633, 44, 453imtr4d 259 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  ->  ( A. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } )  ->  S  e.  J ) )
4746ex 423 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  ( S  C_  U. J  -> 
( A. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } )  ->  S  e.  J ) ) )
4847com23 72 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J ) `  { x } )  ->  ( S  C_  U. J  ->  S  e.  J ) ) )
4948adantr 451 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  -.  S  =  (/) )  -> 
( A. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } )  ->  ( S  C_  U. J  ->  S  e.  J )
) )
5022, 49mpdd 36 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  -.  S  =  (/) )  -> 
( A. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } )  ->  S  e.  J ) )
5113, 50impbid 183 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  -.  S  =  (/) )  -> 
( S  e.  J  <->  A. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) ) )
528, 51pm2.61dan 766 1  |-  ( J  e.  Top  ->  ( S  e.  J  <->  A. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {csn 3640   U.cuni 3827   ` cfv 5255   Topctop 16631   intcnt 16754   neicnei 16834
This theorem is referenced by:  flimcf  17677
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-top 16636  df-ntr 16757  df-nei 16835
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