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Theorem opnnei 17147
Description: A set is open iff it is a neighborhood of all its points. ( Contributed by Jeff Hankins, 15-Sep-2009.) (Contributed by NM, 16-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
opnnei  |-  ( J  e.  Top  ->  ( S  e.  J  <->  A. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) ) )
Distinct variable groups:    x, J    x, S

Proof of Theorem opnnei
StepHypRef Expression
1 0opn 16940 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  (/)  e.  J
)
21adantr 452 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  =  (/) )  ->  (/) 
e.  J )
3 eleq1 2472 . . . . 5  |-  ( S  =  (/)  ->  ( S  e.  J  <->  (/)  e.  J
) )
43adantl 453 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  =  (/) )  -> 
( S  e.  J  <->  (/)  e.  J ) )
52, 4mpbird 224 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  =  (/) )  ->  S  e.  J )
6 rzal 3697 . . . 4  |-  ( S  =  (/)  ->  A. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) )
76adantl 453 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  =  (/) )  ->  A. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J ) `  { x } ) )
85, 72thd 232 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  =  (/) )  -> 
( S  e.  J  <->  A. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) ) )
9 opnneip 17146 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  J  /\  x  e.  S )  ->  S  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
) )
1093expia 1155 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  J )  ->  ( x  e.  S  ->  S  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
) ) )
1110ralrimiv 2756 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  J )  ->  A. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J ) `  { x } ) )
1211ex 424 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  ( S  e.  J  ->  A. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) ) )
1312adantr 452 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  -.  S  =  (/) )  -> 
( S  e.  J  ->  A. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J ) `  { x } ) ) )
14 df-ne 2577 . . . . . 6  |-  ( S  =/=  (/)  <->  -.  S  =  (/) )
15 r19.2z 3685 . . . . . . 7  |-  ( ( S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) )  ->  E. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J ) `  { x } ) )
1615ex 424 . . . . . 6  |-  ( S  =/=  (/)  ->  ( A. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } )  ->  E. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) ) )
1714, 16sylbir 205 . . . . 5  |-  ( -.  S  =  (/)  ->  ( A. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J ) `  { x } )  ->  E. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J ) `  { x } ) ) )
18 eqid 2412 . . . . . . . 8  |-  U. J  =  U. J
1918neii1 17133 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  ( ( nei `  J ) `  { x } ) )  ->  S  C_  U. J
)
2019ex 424 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  ( S  e.  ( ( nei `  J ) `  { x } )  ->  S  C_  U. J
) )
2120rexlimdvw 2801 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  ( E. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J ) `  { x } )  ->  S  C_  U. J
) )
2217, 21sylan9r 640 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  -.  S  =  (/) )  -> 
( A. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } )  ->  S  C_ 
U. J ) )
2318ntrss2 17084 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  ->  ( ( int `  J ) `  S
)  C_  S )
2423adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  /\  A. x  e.  S  { x }  C_  ( ( int `  J
) `  S )
)  ->  ( ( int `  J ) `  S )  C_  S
)
25 vex 2927 . . . . . . . . . . . . 13  |-  x  e. 
_V
2625snss 3894 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ( int `  J ) `  S
)  <->  { x }  C_  ( ( int `  J
) `  S )
)
2726ralbii 2698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  S  x  e.  ( ( int `  J
) `  S )  <->  A. x  e.  S  {
x }  C_  (
( int `  J
) `  S )
)
28 dfss3 3306 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S 
C_  ( ( int `  J ) `  S
)  <->  A. x  e.  S  x  e.  ( ( int `  J ) `  S ) )
2928biimpri 198 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  S  x  e.  ( ( int `  J
) `  S )  ->  S  C_  ( ( int `  J ) `  S ) )
3029adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  /\  A. x  e.  S  x  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  ->  S  C_  (
( int `  J
) `  S )
)
3127, 30sylan2br 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  /\  A. x  e.  S  { x }  C_  ( ( int `  J
) `  S )
)  ->  S  C_  (
( int `  J
) `  S )
)
3224, 31eqssd 3333 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  /\  A. x  e.  S  { x }  C_  ( ( int `  J
) `  S )
)  ->  ( ( int `  J ) `  S )  =  S )
3332ex 424 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  ->  ( A. x  e.  S  { x }  C_  ( ( int `  J ) `  S
)  ->  ( ( int `  J ) `  S )  =  S ) )
3425snss 3894 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  S  <->  { x }  C_  S )
35 sstr2 3323 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { x }  C_  S  ->  ( S  C_  U. J  ->  { x }  C_  U. J ) )
3635com12 29 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S 
C_  U. J  ->  ( { x }  C_  S  ->  { x }  C_ 
U. J ) )
3736adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  ->  ( { x }  C_  S  ->  { x }  C_  U. J ) )
3834, 37syl5bi 209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  ->  ( x  e.  S  ->  { x }  C_  U. J ) )
3938imp 419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  /\  x  e.  S
)  ->  { x }  C_  U. J )
4018neiint 17131 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  { x }  C_  U. J  /\  S  C_  U. J
)  ->  ( S  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } )  <->  { x }  C_  ( ( int `  J ) `  S
) ) )
41403com23 1159 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J  /\  { x }  C_  U. J
)  ->  ( S  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } )  <->  { x }  C_  ( ( int `  J ) `  S
) ) )
42413expa 1153 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  /\  { x }  C_ 
U. J )  -> 
( S  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } )  <->  { x }  C_  ( ( int `  J ) `  S
) ) )
4339, 42syldan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  /\  x  e.  S
)  ->  ( S  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } )  <->  { x }  C_  ( ( int `  J ) `  S
) ) )
4443ralbidva 2690 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  ->  ( A. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } )  <->  A. x  e.  S  { x }  C_  ( ( int `  J ) `  S
) ) )
4518isopn3 17093 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  ->  ( S  e.  J  <->  ( ( int `  J ) `  S
)  =  S ) )
4633, 44, 453imtr4d 260 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  ->  ( A. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } )  ->  S  e.  J ) )
4746ex 424 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  ( S  C_  U. J  -> 
( A. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } )  ->  S  e.  J ) ) )
4847com23 74 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J ) `  { x } )  ->  ( S  C_  U. J  ->  S  e.  J ) ) )
4948adantr 452 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  -.  S  =  (/) )  -> 
( A. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } )  ->  ( S  C_  U. J  ->  S  e.  J )
) )
5022, 49mpdd 38 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  -.  S  =  (/) )  -> 
( A. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } )  ->  S  e.  J ) )
5113, 50impbid 184 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  -.  S  =  (/) )  -> 
( S  e.  J  <->  A. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) ) )
528, 51pm2.61dan 767 1  |-  ( J  e.  Top  ->  ( S  e.  J  <->  A. x  e.  S  S  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2575   A.wral 2674   E.wrex 2675    C_ wss 3288   (/)c0 3596   {csn 3782   U.cuni 3983   ` cfv 5421   Topctop 16921   intcnt 17044   neicnei 17124
This theorem is referenced by:  neiptopreu  17160  flimcf  17975
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-id 4466  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-top 16926  df-ntr 17047  df-nei 17125
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