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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > opnnei | Unicode version |
Description: A set is open iff it is a neighborhood of all its points. ( Contributed by Jeff Hankins, 15-Sep-2009.) (Contributed by NM, 16-Sep-2009.) |
Ref | Expression |
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opnnei |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | 0opn 16940 |
. . . . 5
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2 | 1 | adantr 452 |
. . . 4
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3 | eleq1 2472 |
. . . . 5
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4 | 3 | adantl 453 |
. . . 4
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5 | 2, 4 | mpbird 224 |
. . 3
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6 | rzal 3697 |
. . . 4
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7 | 6 | adantl 453 |
. . 3
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8 | 5, 7 | 2thd 232 |
. 2
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9 | opnneip 17146 |
. . . . . . 7
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10 | 9 | 3expia 1155 |
. . . . . 6
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11 | 10 | ralrimiv 2756 |
. . . . 5
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12 | 11 | ex 424 |
. . . 4
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13 | 12 | adantr 452 |
. . 3
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14 | df-ne 2577 |
. . . . . 6
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15 | r19.2z 3685 |
. . . . . . 7
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16 | 15 | ex 424 |
. . . . . 6
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17 | 14, 16 | sylbir 205 |
. . . . 5
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18 | eqid 2412 |
. . . . . . . 8
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19 | 18 | neii1 17133 |
. . . . . . 7
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20 | 19 | ex 424 |
. . . . . 6
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21 | 20 | rexlimdvw 2801 |
. . . . 5
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22 | 17, 21 | sylan9r 640 |
. . . 4
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23 | 18 | ntrss2 17084 |
. . . . . . . . . . 11
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24 | 23 | adantr 452 |
. . . . . . . . . 10
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25 | vex 2927 |
. . . . . . . . . . . . 13
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26 | 25 | snss 3894 |
. . . . . . . . . . . 12
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27 | 26 | ralbii 2698 |
. . . . . . . . . . 11
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28 | dfss3 3306 |
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29 | 28 | biimpri 198 |
. . . . . . . . . . . 12
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30 | 29 | adantl 453 |
. . . . . . . . . . 11
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31 | 27, 30 | sylan2br 463 |
. . . . . . . . . 10
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32 | 24, 31 | eqssd 3333 |
. . . . . . . . 9
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33 | 32 | ex 424 |
. . . . . . . 8
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34 | 25 | snss 3894 |
. . . . . . . . . . . 12
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35 | sstr2 3323 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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36 | 35 | com12 29 |
. . . . . . . . . . . . 13
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37 | 36 | adantl 453 |
. . . . . . . . . . . 12
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38 | 34, 37 | syl5bi 209 |
. . . . . . . . . . 11
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39 | 38 | imp 419 |
. . . . . . . . . 10
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40 | 18 | neiint 17131 |
. . . . . . . . . . . 12
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41 | 40 | 3com23 1159 |
. . . . . . . . . . 11
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42 | 41 | 3expa 1153 |
. . . . . . . . . 10
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43 | 39, 42 | syldan 457 |
. . . . . . . . 9
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44 | 43 | ralbidva 2690 |
. . . . . . . 8
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45 | 18 | isopn3 17093 |
. . . . . . . 8
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46 | 33, 44, 45 | 3imtr4d 260 |
. . . . . . 7
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47 | 46 | ex 424 |
. . . . . 6
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48 | 47 | com23 74 |
. . . . 5
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49 | 48 | adantr 452 |
. . . 4
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50 | 22, 49 | mpdd 38 |
. . 3
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51 | 13, 50 | impbid 184 |
. 2
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52 | 8, 51 | pm2.61dan 767 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem is referenced by: neiptopreu 17160 flimcf 17975 |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-3 7 ax-mp 8 ax-gen 1552 ax-5 1563 ax-17 1623 ax-9 1662 ax-8 1683 ax-13 1723 ax-14 1725 ax-6 1740 ax-7 1745 ax-11 1757 ax-12 1946 ax-ext 2393 ax-rep 4288 ax-sep 4298 ax-nul 4306 ax-pow 4345 ax-pr 4371 ax-un 4668 |
This theorem depends on definitions: df-bi 178 df-or 360 df-an 361 df-3an 938 df-tru 1325 df-ex 1548 df-nf 1551 df-sb 1656 df-eu 2266 df-mo 2267 df-clab 2399 df-cleq 2405 df-clel 2408 df-nfc 2537 df-ne 2577 df-ral 2679 df-rex 2680 df-reu 2681 df-rab 2683 df-v 2926 df-sbc 3130 df-csb 3220 df-dif 3291 df-un 3293 df-in 3295 df-ss 3302 df-nul 3597 df-if 3708 df-pw 3769 df-sn 3788 df-pr 3789 df-op 3791 df-uni 3984 df-iun 4063 df-br 4181 df-opab 4235 df-mpt 4236 df-id 4466 df-xp 4851 df-rel 4852 df-cnv 4853 df-co 4854 df-dm 4855 df-rn 4856 df-res 4857 df-ima 4858 df-iota 5385 df-fun 5423 df-fn 5424 df-f 5425 df-f1 5426 df-fo 5427 df-f1o 5428 df-fv 5429 df-top 16926 df-ntr 17047 df-nei 17125 |
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