MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opnneip Unicode version

Theorem opnneip 16872
Description: An open set is a neighborhood of any of its members. (Contributed by NM, 8-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
opnneip  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  J  /\  P  e.  N )  ->  N  e.  ( ( nei `  J ) `
 { P }
) )

Proof of Theorem opnneip
StepHypRef Expression
1 snssi 3775 . 2  |-  ( P  e.  N  ->  { P }  C_  N )
2 opnneiss 16871 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  J  /\  { P }  C_  N
)  ->  N  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) )
31, 2syl3an3 1217 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  J  /\  P  e.  N )  ->  N  e.  ( ( nei `  J ) `
 { P }
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    e. wcel 1696    C_ wss 3165   {csn 3653   ` cfv 5271   Topctop 16647   neicnei 16850
This theorem is referenced by:  opnnei  16873  neindisj2  16876  cnpnei  17009  hausnei2  17097  llynlly  17219  nllyrest  17228  nllyidm  17231  hausllycmp  17236  cldllycmp  17237  txnlly  17347  flimfil  17680  flimopn  17686  fbflim2  17688  hausflimlem  17690  flimcf  17693  flimsncls  17697  fclsnei  17730  fcfnei  17746  blnei  18064  cnllycmp  18470  flimcfil  18755  limcflf  19247  cvmlift2lem12  23860  iscnp4  25666  limptlimpr2lem2  25678  cinei  25726
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-top 16652  df-nei 16851
  Copyright terms: Public domain W3C validator