MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opnneip Unicode version

Theorem opnneip 17108
Description: An open set is a neighborhood of any of its members. (Contributed by NM, 8-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
opnneip  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  J  /\  P  e.  N )  ->  N  e.  ( ( nei `  J ) `
 { P }
) )

Proof of Theorem opnneip
StepHypRef Expression
1 snssi 3887 . 2  |-  ( P  e.  N  ->  { P }  C_  N )
2 opnneiss 17107 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  J  /\  { P }  C_  N
)  ->  N  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) )
31, 2syl3an3 1219 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  J  /\  P  e.  N )  ->  N  e.  ( ( nei `  J ) `
 { P }
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 936    e. wcel 1717    C_ wss 3265   {csn 3759   ` cfv 5396   Topctop 16883   neicnei 17086
This theorem is referenced by:  opnnei  17109  neindisj2  17112  iscnp4  17251  cnpnei  17252  hausnei2  17341  llynlly  17463  nllyrest  17472  nllyidm  17475  hausllycmp  17480  cldllycmp  17481  txnlly  17592  flimfil  17924  flimopn  17930  fbflim2  17932  hausflimlem  17934  flimcf  17937  flimsncls  17941  fclsnei  17974  fcfnei  17990  cnextcn  18021  utopreg  18205  blnei  18424  cnllycmp  18854  flimcfil  19139  limcflf  19637  rrhre  24185  cvmlift2lem12  24782
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-op 3768  df-uni 3960  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-id 4441  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-top 16888  df-nei 17087
  Copyright terms: Public domain W3C validator