MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opnneip Unicode version

Theorem opnneip 16856
Description: An open set is a neighborhood of any of its members. (Contributed by NM, 8-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
opnneip  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  J  /\  P  e.  N )  ->  N  e.  ( ( nei `  J ) `
 { P }
) )

Proof of Theorem opnneip
StepHypRef Expression
1 snssi 3759 . 2  |-  ( P  e.  N  ->  { P }  C_  N )
2 opnneiss 16855 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  J  /\  { P }  C_  N
)  ->  N  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) )
31, 2syl3an3 1217 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  J  /\  P  e.  N )  ->  N  e.  ( ( nei `  J ) `
 { P }
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    e. wcel 1684    C_ wss 3152   {csn 3640   ` cfv 5255   Topctop 16631   neicnei 16834
This theorem is referenced by:  opnnei  16857  neindisj2  16860  cnpnei  16993  hausnei2  17081  llynlly  17203  nllyrest  17212  nllyidm  17215  hausllycmp  17220  cldllycmp  17221  txnlly  17331  flimfil  17664  flimopn  17670  fbflim2  17672  hausflimlem  17674  flimcf  17677  flimsncls  17681  fclsnei  17714  fcfnei  17730  blnei  18048  cnllycmp  18454  flimcfil  18739  limcflf  19231  cvmlift2lem12  23845  iscnp4  25563  limptlimpr2lem2  25575  cinei  25623
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-top 16636  df-nei 16835
  Copyright terms: Public domain W3C validator