MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opnneiss Unicode version

Theorem opnneiss 17098
Description: An open set is a neighborhood of any of its subsets. (Contributed by NM, 13-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
opnneiss  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  J  /\  S  C_  N )  ->  N  e.  ( ( nei `  J ) `  S ) )

Proof of Theorem opnneiss
StepHypRef Expression
1 simp3 959 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  J  /\  S  C_  N )  ->  S  C_  N )
2 eqid 2380 . . . . . 6  |-  U. J  =  U. J
32eltopss 16896 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  J )  ->  N  C_  U. J )
4 sstr 3292 . . . . . 6  |-  ( ( S  C_  N  /\  N  C_  U. J )  ->  S  C_  U. J
)
54ancoms 440 . . . . 5  |-  ( ( N  C_  U. J  /\  S  C_  N )  ->  S  C_  U. J )
63, 5sylan 458 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  J )  /\  S  C_  N
)  ->  S  C_  U. J
)
763impa 1148 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  J  /\  S  C_  N )  ->  S  C_  U. J )
82opnneissb 17094 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  J  /\  S  C_  U. J )  ->  ( S  C_  N 
<->  N  e.  ( ( nei `  J ) `
 S ) ) )
97, 8syld3an3 1229 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  J  /\  S  C_  N )  -> 
( S  C_  N  <->  N  e.  ( ( nei `  J ) `  S
) ) )
101, 9mpbid 202 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  J  /\  S  C_  N )  ->  N  e.  ( ( nei `  J ) `  S ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    e. wcel 1717    C_ wss 3256   U.cuni 3950   ` cfv 5387   Topctop 16874   neicnei 17077
This theorem is referenced by:  opnneip  17099  tpnei  17101  topssnei  17104  opnneiid  17106  neissex  17107  cmpkgen  17497
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-op 3759  df-uni 3951  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-id 4432  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-top 16879  df-nei 17078
  Copyright terms: Public domain W3C validator