MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opnneiss Unicode version

Theorem opnneiss 16855
Description: An open set is a neighborhood of any of its subsets. (Contributed by NM, 13-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
opnneiss  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  J  /\  S  C_  N )  ->  N  e.  ( ( nei `  J ) `  S ) )

Proof of Theorem opnneiss
StepHypRef Expression
1 simp3 957 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  J  /\  S  C_  N )  ->  S  C_  N )
2 eqid 2283 . . . . . 6  |-  U. J  =  U. J
32eltopss 16653 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  J )  ->  N  C_  U. J )
4 sstr 3187 . . . . . 6  |-  ( ( S  C_  N  /\  N  C_  U. J )  ->  S  C_  U. J
)
54ancoms 439 . . . . 5  |-  ( ( N  C_  U. J  /\  S  C_  N )  ->  S  C_  U. J )
63, 5sylan 457 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  J )  /\  S  C_  N
)  ->  S  C_  U. J
)
763impa 1146 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  J  /\  S  C_  N )  ->  S  C_  U. J )
82opnneissb 16851 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  J  /\  S  C_  U. J )  ->  ( S  C_  N 
<->  N  e.  ( ( nei `  J ) `
 S ) ) )
97, 8syld3an3 1227 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  J  /\  S  C_  N )  -> 
( S  C_  N  <->  N  e.  ( ( nei `  J ) `  S
) ) )
101, 9mpbid 201 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  J  /\  S  C_  N )  ->  N  e.  ( ( nei `  J ) `  S ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    e. wcel 1684    C_ wss 3152   U.cuni 3827   ` cfv 5255   Topctop 16631   neicnei 16834
This theorem is referenced by:  opnneip  16856  tpnei  16858  topssnei  16861  opnneiid  16863  neissex  16864  cmpkgen  17246
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-top 16636  df-nei 16835
  Copyright terms: Public domain W3C validator