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Theorem opnreen 18336
Description: Every nonempty open set is uncountable. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
opnreen  |-  ( ( A  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  A  =/=  (/) )  ->  A  ~~  ~P NN )

Proof of Theorem opnreen
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reex 8828 . . . . 5  |-  RR  e.  _V
2 elssuni 3855 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  ->  A  C_  U. ( topGen `
 ran  (,) )
)
3 uniretop 18271 . . . . . 6  |-  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
42, 3syl6sseqr 3225 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  ->  A  C_  RR )
5 ssdomg 6907 . . . . 5  |-  ( RR  e.  _V  ->  ( A  C_  RR  ->  A  ~<_  RR ) )
61, 4, 5mpsyl 59 . . . 4  |-  ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  ->  A  ~<_  RR )
7 rpnnen 12505 . . . 4  |-  RR  ~~  ~P NN
8 domentr 6920 . . . 4  |-  ( ( A  ~<_  RR  /\  RR  ~~  ~P NN )  ->  A  ~<_  ~P NN )
96, 7, 8sylancl 643 . . 3  |-  ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  ->  A  ~<_  ~P NN )
109adantr 451 . 2  |-  ( ( A  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  A  =/=  (/) )  ->  A  ~<_  ~P NN )
11 n0 3464 . . . 4  |-  ( A  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  A )
12 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )
13 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) )
1412, 13tgioo 18302 . . . . . . . . 9  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) )
1514eleq2i 2347 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  <->  A  e.  ( MetOpen
`  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) )
1612rexmet 18297 . . . . . . . . 9  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )  e.  ( * Met `  RR )
1713mopni2 18039 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) )  e.  ( * Met `  RR )  /\  A  e.  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  RR+  ( x ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ) y )  C_  A )
1816, 17mp3an1 1264 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  RR+  ( x (
ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) y )  C_  A )
1915, 18sylanb 458 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  RR+  ( x (
ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) y )  C_  A )
204sselda 3180 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  RR )
21 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ~P NN  |->  ( y  e.  NN  |->  if ( y  e.  x ,  ( ( 1  /  3 ) ^
y ) ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  ~P NN  |->  ( y  e.  NN  |->  if ( y  e.  x ,  ( ( 1  /  3
) ^ y ) ,  0 ) ) )
2221rpnnen2 12504 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ~P NN  ~<_  ( 0 [,] 1
)
23 rphalfcl 10378 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( y  /  2 )  e.  RR+ )
2423rpred 10390 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( y  /  2 )  e.  RR )
25 resubcl 9111 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( y  /  2
)  e.  RR )  ->  ( x  -  ( y  /  2
) )  e.  RR )
2624, 25sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( x  -  (
y  /  2 ) )  e.  RR )
27 readdcl 8820 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( y  /  2
)  e.  RR )  ->  ( x  +  ( y  /  2
) )  e.  RR )
2824, 27sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( x  +  ( y  /  2 ) )  e.  RR )
29 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR )
30 ltsubrp 10385 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( y  /  2
)  e.  RR+ )  ->  ( x  -  (
y  /  2 ) )  <  x )
3123, 30sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( x  -  (
y  /  2 ) )  <  x )
32 ltaddrp 10386 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( y  /  2
)  e.  RR+ )  ->  x  <  ( x  +  ( y  / 
2 ) ) )
3323, 32sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR+ )  ->  x  <  ( x  +  ( y  /  2
) ) )
3426, 29, 28, 31, 33lttrd 8977 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( x  -  (
y  /  2 ) )  <  ( x  +  ( y  / 
2 ) ) )
35 iccen 10779 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  -  (
y  /  2 ) )  e.  RR  /\  ( x  +  (
y  /  2 ) )  e.  RR  /\  ( x  -  (
y  /  2 ) )  <  ( x  +  ( y  / 
2 ) ) )  ->  ( 0 [,] 1 )  ~~  (
( x  -  (
y  /  2 ) ) [,] ( x  +  ( y  / 
2 ) ) ) )
3626, 28, 34, 35syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( 0 [,] 1
)  ~~  ( (
x  -  ( y  /  2 ) ) [,] ( x  +  ( y  /  2
) ) ) )
37 domentr 6920 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ~P NN  ~<_  ( 0 [,] 1 )  /\  ( 0 [,] 1
)  ~~  ( (
x  -  ( y  /  2 ) ) [,] ( x  +  ( y  /  2
) ) ) )  ->  ~P NN  ~<_  ( ( x  -  ( y  /  2 ) ) [,] ( x  +  ( y  /  2
) ) ) )
3822, 36, 37sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR+ )  ->  ~P NN  ~<_  ( ( x  -  ( y  / 
2 ) ) [,] ( x  +  ( y  /  2 ) ) ) )
39 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  -  y ) (,) ( x  +  y ) )  e. 
_V
40 rpre 10360 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  RR+  ->  y  e.  RR )
41 resubcl 9111 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  -  y
)  e.  RR )
4240, 41sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( x  -  y
)  e.  RR )
4342rexrd 8881 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( x  -  y
)  e.  RR* )
44 readdcl 8820 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  +  y )  e.  RR )
4540, 44sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( x  +  y )  e.  RR )
4645rexrd 8881 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( x  +  y )  e.  RR* )
4729recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR+ )  ->  x  e.  CC )
4824adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( y  /  2
)  e.  RR )
4948recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( y  /  2
)  e.  CC )
5047, 49, 49subsub4d 9188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( ( x  -  ( y  /  2
) )  -  (
y  /  2 ) )  =  ( x  -  ( ( y  /  2 )  +  ( y  /  2
) ) ) )
5140adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR+ )  -> 
y  e.  RR )
5251recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR+ )  -> 
y  e.  CC )
53522halvesd 9957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( ( y  / 
2 )  +  ( y  /  2 ) )  =  y )
5453oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( x  -  (
( y  /  2
)  +  ( y  /  2 ) ) )  =  ( x  -  y ) )
5550, 54eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( ( x  -  ( y  /  2
) )  -  (
y  /  2 ) )  =  ( x  -  y ) )
5623adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( y  /  2
)  e.  RR+ )
57 ltsubrp 10385 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  -  (
y  /  2 ) )  e.  RR  /\  ( y  /  2
)  e.  RR+ )  ->  ( ( x  -  ( y  /  2
) )  -  (
y  /  2 ) )  <  ( x  -  ( y  / 
2 ) ) )
5826, 56, 57syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( ( x  -  ( y  /  2
) )  -  (
y  /  2 ) )  <  ( x  -  ( y  / 
2 ) ) )
5955, 58eqbrtrrd 4045 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( x  -  y
)  <  ( x  -  ( y  / 
2 ) ) )
60 ltaddrp 10386 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  +  ( y  /  2 ) )  e.  RR  /\  ( y  /  2
)  e.  RR+ )  ->  ( x  +  ( y  /  2 ) )  <  ( ( x  +  ( y  /  2 ) )  +  ( y  / 
2 ) ) )
6128, 56, 60syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( x  +  ( y  /  2 ) )  <  ( ( x  +  ( y  /  2 ) )  +  ( y  / 
2 ) ) )
6247, 49, 49addassd 8857 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( ( x  +  ( y  /  2
) )  +  ( y  /  2 ) )  =  ( x  +  ( ( y  /  2 )  +  ( y  /  2
) ) ) )
6353oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( x  +  ( ( y  /  2
)  +  ( y  /  2 ) ) )  =  ( x  +  y ) )
6462, 63eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( ( x  +  ( y  /  2
) )  +  ( y  /  2 ) )  =  ( x  +  y ) )
6561, 64breqtrd 4047 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( x  +  ( y  /  2 ) )  <  ( x  +  y ) )
66 iccssioo 10719 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  -  y )  e.  RR*  /\  ( x  +  y )  e.  RR* )  /\  ( ( x  -  y )  <  (
x  -  ( y  /  2 ) )  /\  ( x  +  ( y  /  2
) )  <  (
x  +  y ) ) )  ->  (
( x  -  (
y  /  2 ) ) [,] ( x  +  ( y  / 
2 ) ) ) 
C_  ( ( x  -  y ) (,) ( x  +  y ) ) )
6743, 46, 59, 65, 66syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( ( x  -  ( y  /  2
) ) [,] (
x  +  ( y  /  2 ) ) )  C_  ( (
x  -  y ) (,) ( x  +  y ) ) )
68 ssdomg 6907 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  -  y
) (,) ( x  +  y ) )  e.  _V  ->  (
( ( x  -  ( y  /  2
) ) [,] (
x  +  ( y  /  2 ) ) )  C_  ( (
x  -  y ) (,) ( x  +  y ) )  -> 
( ( x  -  ( y  /  2
) ) [,] (
x  +  ( y  /  2 ) ) )  ~<_  ( ( x  -  y ) (,) ( x  +  y ) ) ) )
6939, 67, 68mpsyl 59 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( ( x  -  ( y  /  2
) ) [,] (
x  +  ( y  /  2 ) ) )  ~<_  ( ( x  -  y ) (,) ( x  +  y ) ) )
70 domtr 6914 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ~P NN  ~<_  ( ( x  -  ( y  /  2 ) ) [,] ( x  +  ( y  /  2
) ) )  /\  ( ( x  -  ( y  /  2
) ) [,] (
x  +  ( y  /  2 ) ) )  ~<_  ( ( x  -  y ) (,) ( x  +  y ) ) )  ->  ~P NN  ~<_  ( ( x  -  y ) (,) ( x  +  y ) ) )
7138, 69, 70syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR+ )  ->  ~P NN  ~<_  ( ( x  -  y ) (,) ( x  +  y ) ) )
7212bl2ioo 18298 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ) y )  =  ( ( x  -  y ) (,) (
x  +  y ) ) )
7340, 72sylan2 460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( x ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ) y )  =  ( ( x  -  y ) (,) (
x  +  y ) ) )
7471, 73breqtrrd 4049 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR+ )  ->  ~P NN  ~<_  ( x (
ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) y ) )
7520, 74sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
topGen `  ran  (,) )  /\  x  e.  A
)  /\  y  e.  RR+ )  ->  ~P NN  ~<_  ( x ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ) y ) )
7675adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  x  e.  A
)  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( x ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) y )  C_  A )  ->  ~P NN  ~<_  ( x ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) y ) )
77 simplll 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  x  e.  A
)  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( x ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) y )  C_  A )  ->  A  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
78 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  x  e.  A
)  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( x ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) y )  C_  A )  ->  ( x ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ) y )  C_  A )
79 ssdomg 6907 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  ->  ( (
x ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) y )  C_  A  ->  ( x ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) y )  ~<_  A ) )
8077, 78, 79sylc 56 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  x  e.  A
)  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( x ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) y )  C_  A )  ->  ( x ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ) y )  ~<_  A )
81 domtr 6914 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ~P NN  ~<_  ( x ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) y )  /\  ( x ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) y )  ~<_  A )  ->  ~P NN  ~<_  A )
8276, 80, 81syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  x  e.  A
)  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( x ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) y )  C_  A )  ->  ~P NN  ~<_  A )
8382ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
topGen `  ran  (,) )  /\  x  e.  A
)  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( (
x ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) y )  C_  A  ->  ~P NN  ~<_  A ) )
8483rexlimdva 2667 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  x  e.  A )  ->  ( E. y  e.  RR+  (
x ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) y )  C_  A  ->  ~P NN  ~<_  A ) )
8519, 84mpd 14 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  x  e.  A )  ->  ~P NN 
~<_  A )
8685ex 423 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  ->  ( x  e.  A  ->  ~P NN  ~<_  A ) )
8786exlimdv 1664 . . . 4  |-  ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  ->  ( E. x  x  e.  A  ->  ~P NN  ~<_  A ) )
8811, 87syl5bi 208 . . 3  |-  ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  ->  ( A  =/=  (/)  ->  ~P NN  ~<_  A ) )
8988imp 418 . 2  |-  ( ( A  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  A  =/=  (/) )  ->  ~P NN 
~<_  A )
90 sbth 6981 . 2  |-  ( ( A  ~<_  ~P NN  /\  ~P NN 
~<_  A )  ->  A  ~~  ~P NN )
9110, 89, 90syl2anc 642 1  |-  ( ( A  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  A  =/=  (/) )  ->  A  ~~  ~P NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ifcif 3565   ~Pcpw 3625   U.cuni 3827   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    X. cxp 4687   ran crn 4690    |` cres 4691    o. ccom 4693   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ~~ cen 6860    ~<_ cdom 6861   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740   RR*cxr 8866    < clt 8867    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   3c3 9796   RR+crp 10354   (,)cioo 10656   [,]cicc 10659   ^cexp 11104   abscabs 11719   topGenctg 13342   * Metcxmt 16369   ballcbl 16371   MetOpencmopn 16372
This theorem is referenced by:  rectbntr0  18337
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-acn 7575  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-topgen 13344  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639
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