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Theorem opnreen 18862
Description: Every nonempty open set is uncountable. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
opnreen  |-  ( ( A  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  A  =/=  (/) )  ->  A  ~~  ~P NN )

Proof of Theorem opnreen
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reex 9081 . . . . 5  |-  RR  e.  _V
2 elssuni 4043 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  ->  A  C_  U. ( topGen `
 ran  (,) )
)
3 uniretop 18796 . . . . . 6  |-  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
42, 3syl6sseqr 3395 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  ->  A  C_  RR )
5 ssdomg 7153 . . . . 5  |-  ( RR  e.  _V  ->  ( A  C_  RR  ->  A  ~<_  RR ) )
61, 4, 5mpsyl 61 . . . 4  |-  ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  ->  A  ~<_  RR )
7 rpnnen 12826 . . . 4  |-  RR  ~~  ~P NN
8 domentr 7166 . . . 4  |-  ( ( A  ~<_  RR  /\  RR  ~~  ~P NN )  ->  A  ~<_  ~P NN )
96, 7, 8sylancl 644 . . 3  |-  ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  ->  A  ~<_  ~P NN )
109adantr 452 . 2  |-  ( ( A  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  A  =/=  (/) )  ->  A  ~<_  ~P NN )
11 n0 3637 . . . 4  |-  ( A  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  A )
12 eqid 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )
13 eqid 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) )
1412, 13tgioo 18827 . . . . . . . . 9  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) )
1514eleq2i 2500 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  <->  A  e.  ( MetOpen
`  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) )
1612rexmet 18822 . . . . . . . . 9  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )  e.  ( * Met `  RR )
1713mopni2 18523 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) )  e.  ( * Met `  RR )  /\  A  e.  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  RR+  ( x ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ) y )  C_  A )
1816, 17mp3an1 1266 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  RR+  ( x (
ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) y )  C_  A )
1915, 18sylanb 459 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  RR+  ( x (
ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) y )  C_  A )
204sselda 3348 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  RR )
21 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ~P NN  |->  ( y  e.  NN  |->  if ( y  e.  x ,  ( ( 1  /  3 ) ^
y ) ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  ~P NN  |->  ( y  e.  NN  |->  if ( y  e.  x ,  ( ( 1  /  3
) ^ y ) ,  0 ) ) )
2221rpnnen2 12825 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ~P NN  ~<_  ( 0 [,] 1
)
23 rphalfcl 10636 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( y  /  2 )  e.  RR+ )
2423rpred 10648 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( y  /  2 )  e.  RR )
25 resubcl 9365 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( y  /  2
)  e.  RR )  ->  ( x  -  ( y  /  2
) )  e.  RR )
2624, 25sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( x  -  (
y  /  2 ) )  e.  RR )
27 readdcl 9073 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( y  /  2
)  e.  RR )  ->  ( x  +  ( y  /  2
) )  e.  RR )
2824, 27sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( x  +  ( y  /  2 ) )  e.  RR )
29 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR )
30 ltsubrp 10643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( y  /  2
)  e.  RR+ )  ->  ( x  -  (
y  /  2 ) )  <  x )
3123, 30sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( x  -  (
y  /  2 ) )  <  x )
32 ltaddrp 10644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( y  /  2
)  e.  RR+ )  ->  x  <  ( x  +  ( y  / 
2 ) ) )
3323, 32sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR+ )  ->  x  <  ( x  +  ( y  /  2
) ) )
3426, 29, 28, 31, 33lttrd 9231 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( x  -  (
y  /  2 ) )  <  ( x  +  ( y  / 
2 ) ) )
35 iccen 11040 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  -  (
y  /  2 ) )  e.  RR  /\  ( x  +  (
y  /  2 ) )  e.  RR  /\  ( x  -  (
y  /  2 ) )  <  ( x  +  ( y  / 
2 ) ) )  ->  ( 0 [,] 1 )  ~~  (
( x  -  (
y  /  2 ) ) [,] ( x  +  ( y  / 
2 ) ) ) )
3626, 28, 34, 35syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( 0 [,] 1
)  ~~  ( (
x  -  ( y  /  2 ) ) [,] ( x  +  ( y  /  2
) ) ) )
37 domentr 7166 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ~P NN  ~<_  ( 0 [,] 1 )  /\  ( 0 [,] 1
)  ~~  ( (
x  -  ( y  /  2 ) ) [,] ( x  +  ( y  /  2
) ) ) )  ->  ~P NN  ~<_  ( ( x  -  ( y  /  2 ) ) [,] ( x  +  ( y  /  2
) ) ) )
3822, 36, 37sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR+ )  ->  ~P NN  ~<_  ( ( x  -  ( y  / 
2 ) ) [,] ( x  +  ( y  /  2 ) ) ) )
39 ovex 6106 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  -  y ) (,) ( x  +  y ) )  e. 
_V
40 rpre 10618 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  RR+  ->  y  e.  RR )
41 resubcl 9365 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  -  y
)  e.  RR )
4240, 41sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( x  -  y
)  e.  RR )
4342rexrd 9134 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( x  -  y
)  e.  RR* )
44 readdcl 9073 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  +  y )  e.  RR )
4540, 44sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( x  +  y )  e.  RR )
4645rexrd 9134 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( x  +  y )  e.  RR* )
4729recnd 9114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR+ )  ->  x  e.  CC )
4824adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( y  /  2
)  e.  RR )
4948recnd 9114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( y  /  2
)  e.  CC )
5047, 49, 49subsub4d 9442 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( ( x  -  ( y  /  2
) )  -  (
y  /  2 ) )  =  ( x  -  ( ( y  /  2 )  +  ( y  /  2
) ) ) )
5140adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR+ )  -> 
y  e.  RR )
5251recnd 9114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR+ )  -> 
y  e.  CC )
53522halvesd 10213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( ( y  / 
2 )  +  ( y  /  2 ) )  =  y )
5453oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( x  -  (
( y  /  2
)  +  ( y  /  2 ) ) )  =  ( x  -  y ) )
5550, 54eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( ( x  -  ( y  /  2
) )  -  (
y  /  2 ) )  =  ( x  -  y ) )
5623adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( y  /  2
)  e.  RR+ )
57 ltsubrp 10643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  -  (
y  /  2 ) )  e.  RR  /\  ( y  /  2
)  e.  RR+ )  ->  ( ( x  -  ( y  /  2
) )  -  (
y  /  2 ) )  <  ( x  -  ( y  / 
2 ) ) )
5826, 56, 57syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( ( x  -  ( y  /  2
) )  -  (
y  /  2 ) )  <  ( x  -  ( y  / 
2 ) ) )
5955, 58eqbrtrrd 4234 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( x  -  y
)  <  ( x  -  ( y  / 
2 ) ) )
60 ltaddrp 10644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  +  ( y  /  2 ) )  e.  RR  /\  ( y  /  2
)  e.  RR+ )  ->  ( x  +  ( y  /  2 ) )  <  ( ( x  +  ( y  /  2 ) )  +  ( y  / 
2 ) ) )
6128, 56, 60syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( x  +  ( y  /  2 ) )  <  ( ( x  +  ( y  /  2 ) )  +  ( y  / 
2 ) ) )
6247, 49, 49addassd 9110 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( ( x  +  ( y  /  2
) )  +  ( y  /  2 ) )  =  ( x  +  ( ( y  /  2 )  +  ( y  /  2
) ) ) )
6353oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( x  +  ( ( y  /  2
)  +  ( y  /  2 ) ) )  =  ( x  +  y ) )
6462, 63eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( ( x  +  ( y  /  2
) )  +  ( y  /  2 ) )  =  ( x  +  y ) )
6561, 64breqtrd 4236 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( x  +  ( y  /  2 ) )  <  ( x  +  y ) )
66 iccssioo 10979 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  -  y )  e.  RR*  /\  ( x  +  y )  e.  RR* )  /\  ( ( x  -  y )  <  (
x  -  ( y  /  2 ) )  /\  ( x  +  ( y  /  2
) )  <  (
x  +  y ) ) )  ->  (
( x  -  (
y  /  2 ) ) [,] ( x  +  ( y  / 
2 ) ) ) 
C_  ( ( x  -  y ) (,) ( x  +  y ) ) )
6743, 46, 59, 65, 66syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( ( x  -  ( y  /  2
) ) [,] (
x  +  ( y  /  2 ) ) )  C_  ( (
x  -  y ) (,) ( x  +  y ) ) )
68 ssdomg 7153 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  -  y
) (,) ( x  +  y ) )  e.  _V  ->  (
( ( x  -  ( y  /  2
) ) [,] (
x  +  ( y  /  2 ) ) )  C_  ( (
x  -  y ) (,) ( x  +  y ) )  -> 
( ( x  -  ( y  /  2
) ) [,] (
x  +  ( y  /  2 ) ) )  ~<_  ( ( x  -  y ) (,) ( x  +  y ) ) ) )
6939, 67, 68mpsyl 61 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( ( x  -  ( y  /  2
) ) [,] (
x  +  ( y  /  2 ) ) )  ~<_  ( ( x  -  y ) (,) ( x  +  y ) ) )
70 domtr 7160 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ~P NN  ~<_  ( ( x  -  ( y  /  2 ) ) [,] ( x  +  ( y  /  2
) ) )  /\  ( ( x  -  ( y  /  2
) ) [,] (
x  +  ( y  /  2 ) ) )  ~<_  ( ( x  -  y ) (,) ( x  +  y ) ) )  ->  ~P NN  ~<_  ( ( x  -  y ) (,) ( x  +  y ) ) )
7138, 69, 70syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR+ )  ->  ~P NN  ~<_  ( ( x  -  y ) (,) ( x  +  y ) ) )
7212bl2ioo 18823 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ) y )  =  ( ( x  -  y ) (,) (
x  +  y ) ) )
7340, 72sylan2 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( x ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ) y )  =  ( ( x  -  y ) (,) (
x  +  y ) ) )
7471, 73breqtrrd 4238 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR+ )  ->  ~P NN  ~<_  ( x (
ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) y ) )
7520, 74sylan 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
topGen `  ran  (,) )  /\  x  e.  A
)  /\  y  e.  RR+ )  ->  ~P NN  ~<_  ( x ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ) y ) )
7675adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  x  e.  A
)  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( x ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) y )  C_  A )  ->  ~P NN  ~<_  ( x ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) y ) )
77 simplll 735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  x  e.  A
)  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( x ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) y )  C_  A )  ->  A  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
78 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  x  e.  A
)  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( x ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) y )  C_  A )  ->  ( x ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ) y )  C_  A )
79 ssdomg 7153 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  ->  ( (
x ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) y )  C_  A  ->  ( x ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) y )  ~<_  A ) )
8077, 78, 79sylc 58 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  x  e.  A
)  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( x ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) y )  C_  A )  ->  ( x ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ) y )  ~<_  A )
81 domtr 7160 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ~P NN  ~<_  ( x ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) y )  /\  ( x ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) y )  ~<_  A )  ->  ~P NN  ~<_  A )
8276, 80, 81syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  x  e.  A
)  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( x ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) y )  C_  A )  ->  ~P NN  ~<_  A )
8382ex 424 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
topGen `  ran  (,) )  /\  x  e.  A
)  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( (
x ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) y )  C_  A  ->  ~P NN  ~<_  A ) )
8483rexlimdva 2830 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  x  e.  A )  ->  ( E. y  e.  RR+  (
x ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) y )  C_  A  ->  ~P NN  ~<_  A ) )
8519, 84mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  x  e.  A )  ->  ~P NN 
~<_  A )
8685ex 424 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  ->  ( x  e.  A  ->  ~P NN  ~<_  A ) )
8786exlimdv 1646 . . . 4  |-  ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  ->  ( E. x  x  e.  A  ->  ~P NN  ~<_  A ) )
8811, 87syl5bi 209 . . 3  |-  ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  ->  ( A  =/=  (/)  ->  ~P NN  ~<_  A ) )
8988imp 419 . 2  |-  ( ( A  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  A  =/=  (/) )  ->  ~P NN 
~<_  A )
90 sbth 7227 . 2  |-  ( ( A  ~<_  ~P NN  /\  ~P NN 
~<_  A )  ->  A  ~~  ~P NN )
9110, 89, 90syl2anc 643 1  |-  ( ( A  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  A  =/=  (/) )  ->  A  ~~  ~P NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   E.wrex 2706   _Vcvv 2956    C_ wss 3320   (/)c0 3628   ifcif 3739   ~Pcpw 3799   U.cuni 4015   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266    X. cxp 4876   ran crn 4879    |` cres 4880    o. ccom 4882   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    ~~ cen 7106    ~<_ cdom 7107   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993   RR*cxr 9119    < clt 9120    - cmin 9291    / cdiv 9677   NNcn 10000   2c2 10049   3c3 10050   RR+crp 10612   (,)cioo 10916   [,]cicc 10919   ^cexp 11382   abscabs 12039   topGenctg 13665   * Metcxmt 16686   ballcbl 16688   MetOpencmopn 16691
This theorem is referenced by:  rectbntr0  18863
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-omul 6729  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-acn 7829  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ioo 10920  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-limsup 12265  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480  df-topgen 13667  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966
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