Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opnsubg Unicode version

Theorem opnsubg 17806
 Description: An open subgroup of a topological group is also closed. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subgntr.h
Assertion
Ref Expression
opnsubg SubGrp

Proof of Theorem opnsubg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2296 . . . . 5
21subgss 14638 . . . 4 SubGrp
323ad2ant2 977 . . 3 SubGrp
4 subgntr.h . . . . . 6
54, 1tgptopon 17781 . . . . 5 TopOn
653ad2ant1 976 . . . 4 SubGrp TopOn
7 toponuni 16681 . . . 4 TopOn
86, 7syl 15 . . 3 SubGrp
93, 8sseqtrd 3227 . 2 SubGrp
108difeq1d 3306 . . 3 SubGrp
11 df-ima 4718 . . . . . . . 8
123adantr 451 . . . . . . . . . 10 SubGrp
13 resmpt 5016 . . . . . . . . . 10
1412, 13syl 15 . . . . . . . . 9 SubGrp
1514rneqd 4922 . . . . . . . 8 SubGrp
1611, 15syl5eq 2340 . . . . . . 7 SubGrp
17 simpl1 958 . . . . . . . . 9 SubGrp
18 eldifi 3311 . . . . . . . . . 10
1918adantl 452 . . . . . . . . 9 SubGrp
20 eqid 2296 . . . . . . . . . 10
21 eqid 2296 . . . . . . . . . 10
2220, 1, 21, 4tgplacthmeo 17802 . . . . . . . . 9
2317, 19, 22syl2anc 642 . . . . . . . 8 SubGrp
24 simpl3 960 . . . . . . . 8 SubGrp
25 hmeoima 17472 . . . . . . . 8
2623, 24, 25syl2anc 642 . . . . . . 7 SubGrp
2716, 26eqeltrrd 2371 . . . . . 6 SubGrp
28 tgpgrp 17777 . . . . . . . . 9
2917, 28syl 15 . . . . . . . 8 SubGrp
30 eqid 2296 . . . . . . . . 9
311, 21, 30grprid 14529 . . . . . . . 8
3229, 19, 31syl2anc 642 . . . . . . 7 SubGrp
33 simpl2 959 . . . . . . . . 9 SubGrp SubGrp
3430subg0cl 14645 . . . . . . . . 9 SubGrp
3533, 34syl 15 . . . . . . . 8 SubGrp
36 ovex 5899 . . . . . . . 8
37 eqid 2296 . . . . . . . . 9
38 oveq2 5882 . . . . . . . . 9
3937, 38elrnmpt1s 4943 . . . . . . . 8
4035, 36, 39sylancl 643 . . . . . . 7 SubGrp
4132, 40eqeltrrd 2371 . . . . . 6 SubGrp
4229adantr 451 . . . . . . . . . 10 SubGrp
4319adantr 451 . . . . . . . . . 10 SubGrp
4412sselda 3193 . . . . . . . . . 10 SubGrp
451, 21grpcl 14511 . . . . . . . . . 10
4642, 43, 44, 45syl3anc 1182 . . . . . . . . 9 SubGrp
47 eldifn 3312 . . . . . . . . . . 11
4847ad2antlr 707 . . . . . . . . . 10 SubGrp
49 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . 15
5049subgsubcl 14648 . . . . . . . . . . . . . 14 SubGrp
51503com23 1157 . . . . . . . . . . . . 13 SubGrp
52513expia 1153 . . . . . . . . . . . 12 SubGrp
5333, 52sylan 457 . . . . . . . . . . 11 SubGrp
541, 21, 49grppncan 14572 . . . . . . . . . . . . 13
5542, 43, 44, 54syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12 SubGrp
5655eleq1d 2362 . . . . . . . . . . 11 SubGrp
5753, 56sylibd 205 . . . . . . . . . 10 SubGrp
5848, 57mtod 168 . . . . . . . . 9 SubGrp
59 eldif 3175 . . . . . . . . 9
6046, 58, 59sylanbrc 645 . . . . . . . 8 SubGrp
6160, 37fmptd 5700 . . . . . . 7 SubGrp
62 frn 5411 . . . . . . 7
6361, 62syl 15 . . . . . 6 SubGrp
64 eleq2 2357 . . . . . . . 8
65 sseq1 3212 . . . . . . . 8
6664, 65anbi12d 691 . . . . . . 7
6766rspcev 2897 . . . . . 6
6827, 41, 63, 67syl12anc 1180 . . . . 5 SubGrp
6968ralrimiva 2639 . . . 4 SubGrp
70 topontop 16680 . . . . . 6 TopOn
716, 70syl 15 . . . . 5 SubGrp
72 eltop2 16729 . . . . 5
7371, 72syl 15 . . . 4 SubGrp
7469, 73mpbird 223 . . 3 SubGrp
7510, 74eqeltrrd 2371 . 2 SubGrp
76 eqid 2296 . . . 4
7776iscld 16780 . . 3
7871, 77syl 15 . 2 SubGrp
799, 75, 78mpbir2and 888 1 SubGrp
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934   wceq 1632   wcel 1696  wral 2556  wrex 2557  cvv 2801   cdif 3162   wss 3165  cuni 3843   cmpt 4093   crn 4706   cres 4707  cima 4708  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874  cbs 13164   cplusg 13224  ctopn 13342  c0g 13416  cgrp 14378  csg 14381  SubGrpcsubg 14631  ctop 16647  TopOnctopon 16648  ccld 16769   chmeo 17460  ctgp 17770 This theorem is referenced by:  cldsubg  17809  tgpconcompss  17812 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-topgen 13360  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-plusf 14384  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-subg 14634  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-tmd 17771  df-tgp 17772
 Copyright terms: Public domain W3C validator