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Theorem opnsubg 18137
Description: An open subgroup of a topological group is also closed. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subgntr.h  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
Assertion
Ref Expression
opnsubg  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  S  e.  ( Clsd `  J )
)

Proof of Theorem opnsubg
Dummy variables  x  u  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
21subgss 14945 . . . 4  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  S  C_  ( Base `  G ) )
323ad2ant2 979 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  S  C_  ( Base `  G ) )
4 subgntr.h . . . . . 6  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
54, 1tgptopon 18112 . . . . 5  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  G
) ) )
653ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  G
) ) )
7 toponuni 16992 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) )  ->  ( Base `  G
)  =  U. J
)
86, 7syl 16 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ( Base `  G )  =  U. J )
93, 8sseqtrd 3384 . 2  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  S  C_  U. J
)
108difeq1d 3464 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ( ( Base `  G )  \  S )  =  ( U. J  \  S
) )
11 df-ima 4891 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ( Base `  G )  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) )
" S )  =  ran  ( ( y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) )  |`  S )
123adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  S  C_  ( Base `  G ) )
13 resmpt 5191 . . . . . . . . . 10  |-  ( S 
C_  ( Base `  G
)  ->  ( (
y  e.  ( Base `  G )  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) )  |`  S )  =  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) ) )
1412, 13syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  ( (
y  e.  ( Base `  G )  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) )  |`  S )  =  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) ) )
1514rneqd 5097 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  ran  ( ( y  e.  ( Base `  G )  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) )  |`  S )  =  ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) ) )
1611, 15syl5eq 2480 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  ( (
y  e.  ( Base `  G )  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) )
" S )  =  ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) ) )
17 simpl1 960 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  G  e.  TopGrp )
18 eldifi 3469 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ( Base `  G )  \  S
)  ->  x  e.  ( Base `  G )
)
1918adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  x  e.  ( Base `  G )
)
20 eqid 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) )  =  ( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) )
21 eqid 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
2220, 1, 21, 4tgplacthmeo 18133 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
y  e.  ( Base `  G )  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) )  e.  ( J  Homeo  J ) )
2317, 19, 22syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  ( y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) )  e.  ( J  Homeo  J ) )
24 simpl3 962 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  S  e.  J )
25 hmeoima 17797 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) )  e.  ( J 
Homeo  J )  /\  S  e.  J )  ->  (
( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) ) " S )  e.  J )
2623, 24, 25syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  ( (
y  e.  ( Base `  G )  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) )
" S )  e.  J )
2716, 26eqeltrrd 2511 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) )  e.  J )
28 tgpgrp 18108 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e.  Grp )
2917, 28syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  G  e.  Grp )
30 eqid 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
311, 21, 30grprid 14836 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  -> 
( x ( +g  `  G ) ( 0g
`  G ) )  =  x )
3229, 19, 31syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  ( x
( +g  `  G ) ( 0g `  G
) )  =  x )
33 simpl2 961 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
3430subg0cl 14952 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( 0g `  G )  e.  S
)
3533, 34syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  ( 0g `  G )  e.  S
)
36 ovex 6106 . . . . . . . 8  |-  ( x ( +g  `  G
) ( 0g `  G ) )  e. 
_V
37 eqid 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) )  =  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) )
38 oveq2 6089 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( 0g `  G )  ->  (
x ( +g  `  G
) y )  =  ( x ( +g  `  G ) ( 0g
`  G ) ) )
3937, 38elrnmpt1s 5118 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 0g `  G
)  e.  S  /\  ( x ( +g  `  G ) ( 0g
`  G ) )  e.  _V )  -> 
( x ( +g  `  G ) ( 0g
`  G ) )  e.  ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) ) )
4035, 36, 39sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  ( x
( +g  `  G ) ( 0g `  G
) )  e.  ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) ) )
4132, 40eqeltrrd 2511 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  x  e.  ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) ) )
4229adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  /\  y  e.  S )  ->  G  e.  Grp )
4319adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  /\  y  e.  S )  ->  x  e.  ( Base `  G
) )
4412sselda 3348 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  ( Base `  G
) )
451, 21grpcl 14818 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  ( Base `  G
) )
4642, 43, 44, 45syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  /\  y  e.  S )  ->  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  ( Base `  G
) )
47 eldifn 3470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ( Base `  G )  \  S
)  ->  -.  x  e.  S )
4847ad2antlr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  /\  y  e.  S )  ->  -.  x  e.  S )
49 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
5049subgsubcl 14955 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  (
( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) y )  e.  S )
51503com23 1159 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  y  e.  S  /\  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  S )  ->  (
( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) y )  e.  S )
52513expia 1155 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  y  e.  S )  ->  (
( x ( +g  `  G ) y )  e.  S  ->  (
( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) y )  e.  S ) )
5333, 52sylan 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  /\  y  e.  S )  ->  (
( x ( +g  `  G ) y )  e.  S  ->  (
( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) y )  e.  S ) )
541, 21, 49grppncan 14879 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) y )  =  x )
5542, 43, 44, 54syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  /\  y  e.  S )  ->  (
( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) y )  =  x )
5655eleq1d 2502 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  /\  y  e.  S )  ->  (
( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) y )  e.  S  <->  x  e.  S ) )
5753, 56sylibd 206 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  /\  y  e.  S )  ->  (
( x ( +g  `  G ) y )  e.  S  ->  x  e.  S ) )
5848, 57mtod 170 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  /\  y  e.  S )  ->  -.  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  S )
5946, 58eldifd 3331 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  /\  y  e.  S )  ->  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)
6059, 37fmptd 5893 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) ) : S --> ( (
Base `  G )  \  S ) )
61 frn 5597 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) ) : S --> ( (
Base `  G )  \  S )  ->  ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) )  C_  ( ( Base `  G )  \  S ) )
6260, 61syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) ) 
C_  ( ( Base `  G )  \  S
) )
63 eleq2 2497 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) )  ->  ( x  e.  u  <->  x  e.  ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) ) ) )
64 sseq1 3369 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) )  ->  ( u  C_  ( ( Base `  G
)  \  S )  <->  ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) )  C_  ( ( Base `  G )  \  S ) ) )
6563, 64anbi12d 692 . . . . . . 7  |-  ( u  =  ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) )  ->  ( ( x  e.  u  /\  u  C_  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  <->  ( x  e. 
ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) )  /\  ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) )  C_  ( ( Base `  G )  \  S ) ) ) )
6665rspcev 3052 . . . . . 6  |-  ( ( ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) )  e.  J  /\  ( x  e.  ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) )  /\  ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) ) 
C_  ( ( Base `  G )  \  S
) ) )  ->  E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  u  C_  ( (
Base `  G )  \  S ) ) )
6727, 41, 62, 66syl12anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  u  C_  ( ( Base `  G
)  \  S )
) )
6867ralrimiva 2789 . . . 4  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  A. x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S ) E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  u  C_  ( (
Base `  G )  \  S ) ) )
69 topontop 16991 . . . . . 6  |-  ( J  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) )  ->  J  e.  Top )
706, 69syl 16 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  J  e.  Top )
71 eltop2 17040 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( ( Base `  G
)  \  S )  e.  J  <->  A. x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S ) E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  u  C_  ( (
Base `  G )  \  S ) ) ) )
7270, 71syl 16 . . . 4  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ( (
( Base `  G )  \  S )  e.  J  <->  A. x  e.  ( (
Base `  G )  \  S ) E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  u  C_  ( ( Base `  G
)  \  S )
) ) )
7368, 72mpbird 224 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ( ( Base `  G )  \  S )  e.  J
)
7410, 73eqeltrrd 2511 . 2  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ( U. J  \  S )  e.  J )
75 eqid 2436 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
7675iscld 17091 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( S  e.  ( Clsd `  J )  <->  ( S  C_ 
U. J  /\  ( U. J  \  S )  e.  J ) ) )
7770, 76syl 16 . 2  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  <->  ( S  C_  U. J  /\  ( U. J  \  S )  e.  J ) ) )
789, 74, 77mpbir2and 889 1  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  S  e.  ( Clsd `  J )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   E.wrex 2706   _Vcvv 2956    \ cdif 3317    C_ wss 3320   U.cuni 4015    e. cmpt 4266   ran crn 4879    |` cres 4880   "cima 4881   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Basecbs 13469   +g cplusg 13529   TopOpenctopn 13649   0gc0g 13723   Grpcgrp 14685   -gcsg 14688  SubGrpcsubg 14938   Topctop 16958  TopOnctopon 16959   Clsdccld 17080    Homeo chmeo 17785   TopGrpctgp 18101
This theorem is referenced by:  cldsubg  18140  tgpconcompss  18143
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-topgen 13667  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-plusf 14691  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-subg 14941  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cld 17083  df-cn 17291  df-cnp 17292  df-tx 17594  df-hmeo 17787  df-tmd 18102  df-tgp 18103
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