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Theorem opnsubg 17806
Description: An open subgroup of a topological group is also closed. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subgntr.h  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
Assertion
Ref Expression
opnsubg  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  S  e.  ( Clsd `  J )
)

Proof of Theorem opnsubg
Dummy variables  x  u  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
21subgss 14638 . . . 4  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  S  C_  ( Base `  G ) )
323ad2ant2 977 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  S  C_  ( Base `  G ) )
4 subgntr.h . . . . . 6  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
54, 1tgptopon 17781 . . . . 5  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  G
) ) )
653ad2ant1 976 . . . 4  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  G
) ) )
7 toponuni 16681 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) )  ->  ( Base `  G
)  =  U. J
)
86, 7syl 15 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ( Base `  G )  =  U. J )
93, 8sseqtrd 3227 . 2  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  S  C_  U. J
)
108difeq1d 3306 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ( ( Base `  G )  \  S )  =  ( U. J  \  S
) )
11 df-ima 4718 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ( Base `  G )  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) )
" S )  =  ran  ( ( y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) )  |`  S )
123adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  S  C_  ( Base `  G ) )
13 resmpt 5016 . . . . . . . . . 10  |-  ( S 
C_  ( Base `  G
)  ->  ( (
y  e.  ( Base `  G )  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) )  |`  S )  =  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) ) )
1412, 13syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  ( (
y  e.  ( Base `  G )  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) )  |`  S )  =  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) ) )
1514rneqd 4922 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  ran  ( ( y  e.  ( Base `  G )  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) )  |`  S )  =  ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) ) )
1611, 15syl5eq 2340 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  ( (
y  e.  ( Base `  G )  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) )
" S )  =  ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) ) )
17 simpl1 958 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  G  e.  TopGrp )
18 eldifi 3311 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ( Base `  G )  \  S
)  ->  x  e.  ( Base `  G )
)
1918adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  x  e.  ( Base `  G )
)
20 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) )  =  ( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) )
21 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
2220, 1, 21, 4tgplacthmeo 17802 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
y  e.  ( Base `  G )  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) )  e.  ( J  Homeo  J ) )
2317, 19, 22syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  ( y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) )  e.  ( J  Homeo  J ) )
24 simpl3 960 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  S  e.  J )
25 hmeoima 17472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) )  e.  ( J 
Homeo  J )  /\  S  e.  J )  ->  (
( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) ) " S )  e.  J )
2623, 24, 25syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  ( (
y  e.  ( Base `  G )  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) )
" S )  e.  J )
2716, 26eqeltrrd 2371 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) )  e.  J )
28 tgpgrp 17777 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e.  Grp )
2917, 28syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  G  e.  Grp )
30 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
311, 21, 30grprid 14529 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  -> 
( x ( +g  `  G ) ( 0g
`  G ) )  =  x )
3229, 19, 31syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  ( x
( +g  `  G ) ( 0g `  G
) )  =  x )
33 simpl2 959 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
3430subg0cl 14645 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( 0g `  G )  e.  S
)
3533, 34syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  ( 0g `  G )  e.  S
)
36 ovex 5899 . . . . . . . 8  |-  ( x ( +g  `  G
) ( 0g `  G ) )  e. 
_V
37 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) )  =  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) )
38 oveq2 5882 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( 0g `  G )  ->  (
x ( +g  `  G
) y )  =  ( x ( +g  `  G ) ( 0g
`  G ) ) )
3937, 38elrnmpt1s 4943 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 0g `  G
)  e.  S  /\  ( x ( +g  `  G ) ( 0g
`  G ) )  e.  _V )  -> 
( x ( +g  `  G ) ( 0g
`  G ) )  e.  ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) ) )
4035, 36, 39sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  ( x
( +g  `  G ) ( 0g `  G
) )  e.  ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) ) )
4132, 40eqeltrrd 2371 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  x  e.  ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) ) )
4229adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  /\  y  e.  S )  ->  G  e.  Grp )
4319adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  /\  y  e.  S )  ->  x  e.  ( Base `  G
) )
4412sselda 3193 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  ( Base `  G
) )
451, 21grpcl 14511 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  ( Base `  G
) )
4642, 43, 44, 45syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  /\  y  e.  S )  ->  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  ( Base `  G
) )
47 eldifn 3312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ( Base `  G )  \  S
)  ->  -.  x  e.  S )
4847ad2antlr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  /\  y  e.  S )  ->  -.  x  e.  S )
49 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
5049subgsubcl 14648 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  (
( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) y )  e.  S )
51503com23 1157 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  y  e.  S  /\  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  S )  ->  (
( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) y )  e.  S )
52513expia 1153 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  y  e.  S )  ->  (
( x ( +g  `  G ) y )  e.  S  ->  (
( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) y )  e.  S ) )
5333, 52sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  /\  y  e.  S )  ->  (
( x ( +g  `  G ) y )  e.  S  ->  (
( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) y )  e.  S ) )
541, 21, 49grppncan 14572 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) y )  =  x )
5542, 43, 44, 54syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  /\  y  e.  S )  ->  (
( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) y )  =  x )
5655eleq1d 2362 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  /\  y  e.  S )  ->  (
( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) y )  e.  S  <->  x  e.  S ) )
5753, 56sylibd 205 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  /\  y  e.  S )  ->  (
( x ( +g  `  G ) y )  e.  S  ->  x  e.  S ) )
5848, 57mtod 168 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  /\  y  e.  S )  ->  -.  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  S )
59 eldif 3175 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x ( +g  `  G
) y )  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )  <->  ( ( x ( +g  `  G ) y )  e.  ( Base `  G
)  /\  -.  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  S ) )
6046, 58, 59sylanbrc 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  /\  y  e.  S )  ->  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)
6160, 37fmptd 5700 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) ) : S --> ( (
Base `  G )  \  S ) )
62 frn 5411 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) ) : S --> ( (
Base `  G )  \  S )  ->  ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) )  C_  ( ( Base `  G )  \  S ) )
6361, 62syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) ) 
C_  ( ( Base `  G )  \  S
) )
64 eleq2 2357 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) )  ->  ( x  e.  u  <->  x  e.  ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) ) ) )
65 sseq1 3212 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) )  ->  ( u  C_  ( ( Base `  G
)  \  S )  <->  ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) )  C_  ( ( Base `  G )  \  S ) ) )
6664, 65anbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( u  =  ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) )  ->  ( ( x  e.  u  /\  u  C_  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  <->  ( x  e. 
ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) )  /\  ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) )  C_  ( ( Base `  G )  \  S ) ) ) )
6766rspcev 2897 . . . . . 6  |-  ( ( ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) )  e.  J  /\  ( x  e.  ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) )  /\  ran  ( y  e.  S  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) ) 
C_  ( ( Base `  G )  \  S
) ) )  ->  E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  u  C_  ( (
Base `  G )  \  S ) ) )
6827, 41, 63, 67syl12anc 1180 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S )
)  ->  E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  u  C_  ( ( Base `  G
)  \  S )
) )
6968ralrimiva 2639 . . . 4  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  A. x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S ) E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  u  C_  ( (
Base `  G )  \  S ) ) )
70 topontop 16680 . . . . . 6  |-  ( J  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) )  ->  J  e.  Top )
716, 70syl 15 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  J  e.  Top )
72 eltop2 16729 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( ( Base `  G
)  \  S )  e.  J  <->  A. x  e.  ( ( Base `  G
)  \  S ) E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  u  C_  ( (
Base `  G )  \  S ) ) ) )
7371, 72syl 15 . . . 4  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ( (
( Base `  G )  \  S )  e.  J  <->  A. x  e.  ( (
Base `  G )  \  S ) E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  u  C_  ( ( Base `  G
)  \  S )
) ) )
7469, 73mpbird 223 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ( ( Base `  G )  \  S )  e.  J
)
7510, 74eqeltrrd 2371 . 2  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ( U. J  \  S )  e.  J )
76 eqid 2296 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
7776iscld 16780 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( S  e.  ( Clsd `  J )  <->  ( S  C_ 
U. J  /\  ( U. J  \  S )  e.  J ) ) )
7871, 77syl 15 . 2  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  <->  ( S  C_  U. J  /\  ( U. J  \  S )  e.  J ) ) )
799, 75, 78mpbir2and 888 1  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  S  e.  ( Clsd `  J )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    C_ wss 3165   U.cuni 3843    e. cmpt 4093   ran crn 4706    |` cres 4707   "cima 4708   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   TopOpenctopn 13342   0gc0g 13416   Grpcgrp 14378   -gcsg 14381  SubGrpcsubg 14631   Topctop 16647  TopOnctopon 16648   Clsdccld 16769    Homeo chmeo 17460   TopGrpctgp 17770
This theorem is referenced by:  cldsubg  17809  tgpconcompss  17812
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-topgen 13360  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-plusf 14384  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-subg 14634  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-tmd 17771  df-tgp 17772
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