Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  opoc0 Structured version   Unicode version

Theorem opoc0 30003
Description: Orthocomplement of orthoposet zero. (Contributed by NM, 24-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
opoc1.z  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
opoc1.u  |-  .1.  =  ( 1. `  K )
opoc1.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
Assertion
Ref Expression
opoc0  |-  ( K  e.  OP  ->  (  ._|_  `  .0.  )  =  .1.  )

Proof of Theorem opoc0
StepHypRef Expression
1 opoc1.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
2 opoc1.u . . 3  |-  .1.  =  ( 1. `  K )
3 opoc1.o . . 3  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
41, 2, 3opoc1 30002 . 2  |-  ( K  e.  OP  ->  (  ._|_  `  .1.  )  =  .0.  )
5 eqid 2438 . . . 4  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
65, 2op1cl 29985 . . 3  |-  ( K  e.  OP  ->  .1.  e.  ( Base `  K
) )
75, 1op0cl 29984 . . 3  |-  ( K  e.  OP  ->  .0.  e.  ( Base `  K
) )
85, 3opcon1b 29998 . . 3  |-  ( ( K  e.  OP  /\  .1.  e.  ( Base `  K
)  /\  .0.  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( (  ._|_  `  .1.  )  =  .0.  <->  (  ._|_  `  .0.  )  =  .1.  )
)
96, 7, 8mpd3an23 1282 . 2  |-  ( K  e.  OP  ->  (
(  ._|_  `  .1.  )  =  .0.  <->  (  ._|_  `  .0.  )  =  .1.  )
)
104, 9mpbid 203 1  |-  ( K  e.  OP  ->  (  ._|_  `  .0.  )  =  .1.  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    = wceq 1653    e. wcel 1726   ` cfv 5456   Basecbs 13471   occoc 13539   0.cp0 14468   1.cp1 14469   OPcops 29972
This theorem is referenced by:  1cvrjat  30274  doch0  32158
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-undef 6545  df-riota 6551  df-poset 14405  df-lub 14433  df-glb 14434  df-p0 14470  df-p1 14471  df-oposet 29976
  Copyright terms: Public domain W3C validator