Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  opoc1 Structured version   Unicode version

Theorem opoc1 29937
Description: Orthocomplement of orthoposet unit. (Contributed by NM, 24-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
opoc1.z  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
opoc1.u  |-  .1.  =  ( 1. `  K )
opoc1.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
Assertion
Ref Expression
opoc1  |-  ( K  e.  OP  ->  (  ._|_  `  .1.  )  =  .0.  )

Proof of Theorem opoc1
StepHypRef Expression
1 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
2 opoc1.z . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
31, 2op0cl 29919 . . . . 5  |-  ( K  e.  OP  ->  .0.  e.  ( Base `  K
) )
4 opoc1.o . . . . . 6  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
51, 4opoccl 29929 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OP  /\  .0.  e.  ( Base `  K
) )  ->  (  ._|_  `  .0.  )  e.  ( Base `  K
) )
63, 5mpdan 650 . . . 4  |-  ( K  e.  OP  ->  (  ._|_  `  .0.  )  e.  ( Base `  K
) )
7 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
8 opoc1.u . . . . 5  |-  .1.  =  ( 1. `  K )
91, 7, 8ople1 29926 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  (  ._|_  `  .0.  )  e.  ( Base `  K
) )  ->  (  ._|_  `  .0.  ) ( le `  K )  .1.  )
106, 9mpdan 650 . . 3  |-  ( K  e.  OP  ->  (  ._|_  `  .0.  ) ( le `  K )  .1.  )
111, 8op1cl 29920 . . . 4  |-  ( K  e.  OP  ->  .1.  e.  ( Base `  K
) )
121, 7, 4oplecon1b 29936 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  .1.  e.  ( Base `  K
)  /\  .0.  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( (  ._|_  `  .1.  ) ( le `  K )  .0.  <->  (  ._|_  `  .0.  ) ( le `  K )  .1.  )
)
1311, 3, 12mpd3an23 1281 . . 3  |-  ( K  e.  OP  ->  (
(  ._|_  `  .1.  )
( le `  K
)  .0.  <->  (  ._|_  `  .0.  ) ( le
`  K )  .1.  ) )
1410, 13mpbird 224 . 2  |-  ( K  e.  OP  ->  (  ._|_  `  .1.  ) ( le `  K )  .0.  )
151, 4opoccl 29929 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  .1.  e.  ( Base `  K
) )  ->  (  ._|_  `  .1.  )  e.  ( Base `  K
) )
1611, 15mpdan 650 . . 3  |-  ( K  e.  OP  ->  (  ._|_  `  .1.  )  e.  ( Base `  K
) )
171, 7, 2ople0 29922 . . 3  |-  ( ( K  e.  OP  /\  (  ._|_  `  .1.  )  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
(  ._|_  `  .1.  )
( le `  K
)  .0.  <->  (  ._|_  `  .1.  )  =  .0.  ) )
1816, 17mpdan 650 . 2  |-  ( K  e.  OP  ->  (
(  ._|_  `  .1.  )
( le `  K
)  .0.  <->  (  ._|_  `  .1.  )  =  .0.  ) )
1914, 18mpbid 202 1  |-  ( K  e.  OP  ->  (  ._|_  `  .1.  )  =  .0.  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4204   ` cfv 5446   Basecbs 13461   lecple 13528   occoc 13529   0.cp0 14458   1.cp1 14459   OPcops 29907
This theorem is referenced by:  opoc0  29938  olm11  29962  1cvrco  30206  1cvrjat  30209  pol1N  30644  doch1  32094
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-undef 6535  df-riota 6541  df-poset 14395  df-lub 14423  df-glb 14424  df-p0 14460  df-p1 14461  df-oposet 29911
  Copyright terms: Public domain W3C validator