Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  opoccl Unicode version

Theorem opoccl 30006
Description: Closure of orthocomplement operation. (choccl 21901 analog.) (Contributed by NM, 20-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
opoccl.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
opoccl.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
Assertion
Ref Expression
opoccl  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X )  e.  B )

Proof of Theorem opoccl
StepHypRef Expression
1 opoccl.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
3 opoccl.o . . . . 5  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
4 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
5 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( meet `  K )  =  (
meet `  K )
6 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( 0.
`  K )  =  ( 0. `  K
)
7 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( 1.
`  K )  =  ( 1. `  K
)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7oposlem 29995 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  ( ( (  ._|_  `  X )  e.  B  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  X  /\  ( X ( le `  K ) X  -> 
(  ._|_  `  X )
( le `  K
) (  ._|_  `  X
) ) )  /\  ( X ( join `  K
) (  ._|_  `  X
) )  =  ( 1. `  K )  /\  ( X (
meet `  K )
(  ._|_  `  X )
)  =  ( 0.
`  K ) ) )
983anidm23 1241 . . 3  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  ( ( (  ._|_  `  X )  e.  B  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  X  /\  ( X ( le `  K ) X  -> 
(  ._|_  `  X )
( le `  K
) (  ._|_  `  X
) ) )  /\  ( X ( join `  K
) (  ._|_  `  X
) )  =  ( 1. `  K )  /\  ( X (
meet `  K )
(  ._|_  `  X )
)  =  ( 0.
`  K ) ) )
109simp1d 967 . 2  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  X
)  e.  B  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  X  /\  ( X ( le `  K
) X  ->  (  ._|_  `  X ) ( le `  K ) (  ._|_  `  X ) ) ) )
1110simp1d 967 1  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X )  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   lecple 13231   occoc 13232   joincjn 14094   meetcmee 14095   0.cp0 14159   1.cp1 14160   OPcops 29984
This theorem is referenced by:  opcon2b  30009  oplecon3b  30012  oplecon1b  30013  opoc1  30014  opltcon3b  30016  opltcon1b  30017  opltcon2b  30018  riotaocN  30021  oldmm1  30029  oldmm2  30030  oldmm3N  30031  oldmm4  30032  oldmj1  30033  oldmj2  30034  oldmj3  30035  oldmj4  30036  olm11  30039  latmassOLD  30041  omllaw2N  30056  omllaw4  30058  cmtcomlemN  30060  cmt2N  30062  cmt3N  30063  cmt4N  30064  cmtbr2N  30065  cmtbr3N  30066  cmtbr4N  30067  lecmtN  30068  omlfh1N  30070  omlfh3N  30071  omlspjN  30073  cvrcon3b  30089  cvrcmp2  30096  atlatmstc  30131  glbconN  30188  glbconxN  30189  cvrexch  30231  1cvrco  30283  1cvratex  30284  1cvrjat  30286  polval2N  30717  polsubN  30718  2polpmapN  30724  2polvalN  30725  poldmj1N  30739  pmapj2N  30740  polatN  30742  2polatN  30743  pnonsingN  30744  ispsubcl2N  30758  polsubclN  30763  poml4N  30764  pmapojoinN  30779  pl42lem1N  30790  lhpoc2N  30826  lhpocnle  30827  lhpmod2i2  30849  lhpmod6i1  30850  lhprelat3N  30851  trlcl  30975  trlle  30995  docaclN  31936  doca2N  31938  djajN  31949  dih1  32098  dih1dimatlem  32141  dochcl  32165  dochvalr3  32175  doch2val2  32176  dochss  32177  dochocss  32178  dochoc  32179  dochnoncon  32203  djhlj  32213
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-nul 4165
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-iota 5235  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oposet 29988
  Copyright terms: Public domain W3C validator