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Theorem oppccatid 13638
Description: Lemma for oppccat 13641. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
oppcbas.1  |-  O  =  (oppCat `  C )
Assertion
Ref Expression
oppccatid  |-  ( C  e.  Cat  ->  ( O  e.  Cat  /\  ( Id `  O )  =  ( Id `  C
) ) )

Proof of Theorem oppccatid
Dummy variables  f 
g  h  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oppcbas.1 . . . . 5  |-  O  =  (oppCat `  C )
2 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
31, 2oppcbas 13637 . . . 4  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  O )
43a1i 10 . . 3  |-  ( C  e.  Cat  ->  ( Base `  C )  =  ( Base `  O
) )
5 eqidd 2297 . . 3  |-  ( C  e.  Cat  ->  (  Hom  `  O )  =  (  Hom  `  O
) )
6 eqidd 2297 . . 3  |-  ( C  e.  Cat  ->  (comp `  O )  =  (comp `  O ) )
7 fvex 5555 . . . . 5  |-  (oppCat `  C )  e.  _V
81, 7eqeltri 2366 . . . 4  |-  O  e. 
_V
98a1i 10 . . 3  |-  ( C  e.  Cat  ->  O  e.  _V )
10 biid 227 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  (
Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
(  Hom  `  O ) w ) ) )  <-> 
( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
(  Hom  `  O ) w ) ) ) )
11 eqid 2296 . . . . 5  |-  (  Hom  `  C )  =  (  Hom  `  C )
12 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( Id
`  C )  =  ( Id `  C
)
13 simpl 443 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  y  e.  ( Base `  C ) )  ->  C  e.  Cat )
14 simpr 447 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  y  e.  ( Base `  C ) )  -> 
y  e.  ( Base `  C ) )
152, 11, 12, 13, 14catidcl 13600 . . . 4  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  y  e.  ( Base `  C ) )  -> 
( ( Id `  C ) `  y
)  e.  ( y (  Hom  `  C
) y ) )
1611, 1oppchom 13634 . . . 4  |-  ( y (  Hom  `  O
) y )  =  ( y (  Hom  `  C ) y )
1715, 16syl6eleqr 2387 . . 3  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  y  e.  ( Base `  C ) )  -> 
( ( Id `  C ) `  y
)  e.  ( y (  Hom  `  O
) y ) )
18 eqid 2296 . . . . 5  |-  (comp `  C )  =  (comp `  C )
19 simpr1l 1012 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
(  Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  x  e.  ( Base `  C )
)
20 simpr1r 1013 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
(  Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  y  e.  ( Base `  C )
)
212, 18, 1, 19, 20, 20oppcco 13636 . . . 4  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
(  Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( (
( Id `  C
) `  y )
( <. x ,  y
>. (comp `  O )
y ) f )  =  ( f (
<. y ,  y >.
(comp `  C )
x ) ( ( Id `  C ) `
 y ) ) )
22 simpl 443 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
(  Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  C  e.  Cat )
23 simpr31 1045 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
(  Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  f  e.  ( x (  Hom  `  O ) y ) )
2411, 1oppchom 13634 . . . . . 6  |-  ( x (  Hom  `  O
) y )  =  ( y (  Hom  `  C ) x )
2523, 24syl6eleq 2386 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
(  Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  f  e.  ( y (  Hom  `  C ) x ) )
262, 11, 12, 22, 20, 18, 19, 25catrid 13602 . . . 4  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
(  Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( f
( <. y ,  y
>. (comp `  C )
x ) ( ( Id `  C ) `
 y ) )  =  f )
2721, 26eqtrd 2328 . . 3  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
(  Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( (
( Id `  C
) `  y )
( <. x ,  y
>. (comp `  O )
y ) f )  =  f )
28 simpr2l 1014 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
(  Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  z  e.  ( Base `  C )
)
292, 18, 1, 20, 20, 28oppcco 13636 . . . 4  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
(  Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( g
( <. y ,  y
>. (comp `  O )
z ) ( ( Id `  C ) `
 y ) )  =  ( ( ( Id `  C ) `
 y ) (
<. z ,  y >.
(comp `  C )
y ) g ) )
30 simpr32 1046 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
(  Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  g  e.  ( y (  Hom  `  O ) z ) )
3111, 1oppchom 13634 . . . . . 6  |-  ( y (  Hom  `  O
) z )  =  ( z (  Hom  `  C ) y )
3230, 31syl6eleq 2386 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
(  Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  g  e.  ( z (  Hom  `  C ) y ) )
332, 11, 12, 22, 28, 18, 20, 32catlid 13601 . . . 4  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
(  Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( (
( Id `  C
) `  y )
( <. z ,  y
>. (comp `  C )
y ) g )  =  g )
3429, 33eqtrd 2328 . . 3  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
(  Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( g
( <. y ,  y
>. (comp `  O )
z ) ( ( Id `  C ) `
 y ) )  =  g )
352, 18, 1, 19, 20, 28oppcco 13636 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
(  Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( g
( <. x ,  y
>. (comp `  O )
z ) f )  =  ( f (
<. z ,  y >.
(comp `  C )
x ) g ) )
362, 11, 18, 22, 28, 20, 19, 32, 25catcocl 13603 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
(  Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( f
( <. z ,  y
>. (comp `  C )
x ) g )  e.  ( z (  Hom  `  C )
x ) )
3735, 36eqeltrd 2370 . . . 4  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
(  Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( g
( <. x ,  y
>. (comp `  O )
z ) f )  e.  ( z (  Hom  `  C )
x ) )
3811, 1oppchom 13634 . . . 4  |-  ( x (  Hom  `  O
) z )  =  ( z (  Hom  `  C ) x )
3937, 38syl6eleqr 2387 . . 3  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
(  Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( g
( <. x ,  y
>. (comp `  O )
z ) f )  e.  ( x (  Hom  `  O )
z ) )
40 simpr2r 1015 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
(  Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  w  e.  ( Base `  C )
)
41 simpr33 1047 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
(  Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  h  e.  ( z (  Hom  `  O ) w ) )
4211, 1oppchom 13634 . . . . . . 7  |-  ( z (  Hom  `  O
) w )  =  ( w (  Hom  `  C ) z )
4341, 42syl6eleq 2386 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
(  Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  h  e.  ( w (  Hom  `  C ) z ) )
442, 11, 18, 22, 40, 28, 20, 43, 32, 19, 25catass 13604 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
(  Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( (
f ( <. z ,  y >. (comp `  C ) x ) g ) ( <.
w ,  z >.
(comp `  C )
x ) h )  =  ( f (
<. w ,  y >.
(comp `  C )
x ) ( g ( <. w ,  z
>. (comp `  C )
y ) h ) ) )
452, 18, 1, 19, 28, 40oppcco 13636 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
(  Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( h
( <. x ,  z
>. (comp `  O )
w ) ( f ( <. z ,  y
>. (comp `  C )
x ) g ) )  =  ( ( f ( <. z ,  y >. (comp `  C ) x ) g ) ( <.
w ,  z >.
(comp `  C )
x ) h ) )
462, 18, 1, 19, 20, 40oppcco 13636 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
(  Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( (
g ( <. w ,  z >. (comp `  C ) y ) h ) ( <.
x ,  y >.
(comp `  O )
w ) f )  =  ( f (
<. w ,  y >.
(comp `  C )
x ) ( g ( <. w ,  z
>. (comp `  C )
y ) h ) ) )
4744, 45, 463eqtr4rd 2339 . . . 4  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
(  Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( (
g ( <. w ,  z >. (comp `  C ) y ) h ) ( <.
x ,  y >.
(comp `  O )
w ) f )  =  ( h (
<. x ,  z >.
(comp `  O )
w ) ( f ( <. z ,  y
>. (comp `  C )
x ) g ) ) )
482, 18, 1, 20, 28, 40oppcco 13636 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
(  Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( h
( <. y ,  z
>. (comp `  O )
w ) g )  =  ( g (
<. w ,  z >.
(comp `  C )
y ) h ) )
4948oveq1d 5889 . . . 4  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
(  Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( (
h ( <. y ,  z >. (comp `  O ) w ) g ) ( <.
x ,  y >.
(comp `  O )
w ) f )  =  ( ( g ( <. w ,  z
>. (comp `  C )
y ) h ) ( <. x ,  y
>. (comp `  O )
w ) f ) )
5035oveq2d 5890 . . . 4  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
(  Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( h
( <. x ,  z
>. (comp `  O )
w ) ( g ( <. x ,  y
>. (comp `  O )
z ) f ) )  =  ( h ( <. x ,  z
>. (comp `  O )
w ) ( f ( <. z ,  y
>. (comp `  C )
x ) g ) ) )
5147, 49, 503eqtr4d 2338 . . 3  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( z  e.  ( Base `  C
)  /\  w  e.  ( Base `  C )
)  /\  ( f  e.  ( x (  Hom  `  O ) y )  /\  g  e.  ( y (  Hom  `  O
) z )  /\  h  e.  ( z
(  Hom  `  O ) w ) ) ) )  ->  ( (
h ( <. y ,  z >. (comp `  O ) w ) g ) ( <.
x ,  y >.
(comp `  O )
w ) f )  =  ( h (
<. x ,  z >.
(comp `  O )
w ) ( g ( <. x ,  y
>. (comp `  O )
z ) f ) ) )
524, 5, 6, 9, 10, 17, 27, 34, 39, 51iscatd2 13599 . 2  |-  ( C  e.  Cat  ->  ( O  e.  Cat  /\  ( Id `  O )  =  ( y  e.  (
Base `  C )  |->  ( ( Id `  C ) `  y
) ) ) )
532, 12cidfn 13597 . . . . 5  |-  ( C  e.  Cat  ->  ( Id `  C )  Fn  ( Base `  C
) )
54 dffn5 5584 . . . . 5  |-  ( ( Id `  C )  Fn  ( Base `  C
)  <->  ( Id `  C )  =  ( y  e.  ( Base `  C )  |->  ( ( Id `  C ) `
 y ) ) )
5553, 54sylib 188 . . . 4  |-  ( C  e.  Cat  ->  ( Id `  C )  =  ( y  e.  (
Base `  C )  |->  ( ( Id `  C ) `  y
) ) )
5655eqeq2d 2307 . . 3  |-  ( C  e.  Cat  ->  (
( Id `  O
)  =  ( Id
`  C )  <->  ( Id `  O )  =  ( y  e.  ( Base `  C )  |->  ( ( Id `  C ) `
 y ) ) ) )
5756anbi2d 684 . 2  |-  ( C  e.  Cat  ->  (
( O  e.  Cat  /\  ( Id `  O
)  =  ( Id
`  C ) )  <-> 
( O  e.  Cat  /\  ( Id `  O
)  =  ( y  e.  ( Base `  C
)  |->  ( ( Id
`  C ) `  y ) ) ) ) )
5852, 57mpbird 223 1  |-  ( C  e.  Cat  ->  ( O  e.  Cat  /\  ( Id `  O )  =  ( Id `  C
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801   <.cop 3656    e. cmpt 4093    Fn wfn 5266   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164    Hom chom 13235  compcco 13236   Catccat 13582   Idccid 13583  oppCatcoppc 13630
This theorem is referenced by:  oppcid  13640  oppccat  13641
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-hom 13248  df-cco 13249  df-cat 13586  df-cid 13587  df-oppc 13631
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