MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppcco Structured version   Unicode version

Theorem oppcco 13943
Description: Composition in the opposite category. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
oppcco.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
oppcco.c  |-  .x.  =  (comp `  C )
oppcco.o  |-  O  =  (oppCat `  C )
oppcco.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
oppcco.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
oppcco.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  B )
Assertion
Ref Expression
oppcco  |-  ( ph  ->  ( G ( <. X ,  Y >. (comp `  O ) Z ) F )  =  ( F ( <. Z ,  Y >.  .x.  X ) G ) )

Proof of Theorem oppcco
StepHypRef Expression
1 oppcco.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  C
)
2 oppcco.c . . . 4  |-  .x.  =  (comp `  C )
3 oppcco.o . . . 4  |-  O  =  (oppCat `  C )
4 oppcco.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
5 oppcco.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
6 oppcco.z . . . 4  |-  ( ph  ->  Z  e.  B )
71, 2, 3, 4, 5, 6oppccofval 13942 . . 3  |-  ( ph  ->  ( <. X ,  Y >. (comp `  O ) Z )  = tpos  ( <. Z ,  Y >.  .x. 
X ) )
87oveqd 6098 . 2  |-  ( ph  ->  ( G ( <. X ,  Y >. (comp `  O ) Z ) F )  =  ( Gtpos  ( <. Z ,  Y >.  .x.  X ) F ) )
9 ovtpos 6494 . 2  |-  ( Gtpos  ( <. Z ,  Y >.  .x.  X ) F )  =  ( F ( <. Z ,  Y >.  .x.  X ) G )
108, 9syl6eq 2484 1  |-  ( ph  ->  ( G ( <. X ,  Y >. (comp `  O ) Z ) F )  =  ( F ( <. Z ,  Y >.  .x.  X ) G ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725   <.cop 3817   ` cfv 5454  (class class class)co 6081  tpos ctpos 6478   Basecbs 13469  compcco 13541  oppCatcoppc 13937
This theorem is referenced by:  oppccatid  13945  2oppccomf  13951  oppccomfpropd  13953  isepi  13966  epii  13969  oppcsect  13999  funcoppc  14072  hofcl  14356  yon12  14362  yon2  14363  yonedalem4c  14374
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-tpos 6479  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-ltxr 9125  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-dec 10383  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-sets 13475  df-cco 13554  df-oppc 13938
  Copyright terms: Public domain W3C validator